问题空间

什么是问题空间？

问题空间，简单说，就是把一个不能直接解决的问题分解，匹配所有已知技能，从而逐步接近进而解决问题。其背后的思路是：将复杂的问题分解成简单的子问题，逐个解决，进而达到整体解决。

说起来容易，做起来当然会难很多了。不同的分解方式，不同的知识储备，不同的灵感来源……有时感觉完全无路可走，甚至只是徒劳地原地打转。

问题空间理论来自纽厄尔与西蒙（Newell & Simon）对人类问题解决的研究，它通常包含三个要素：

• 初始状态：你现在在哪里（问题是什么样）
• 目标状态：你要去哪里（答案是什么样）
• 操作符：你有哪些可用的动作（已知的方法、公式、技能）

一次"解题"，就是在问题空间中从初始状态出发，不断用操作符做状态转移，最终抵达目标状态的搜索过程。

真正的难题不在分解

在任何情况下，麻烦都不在于问题分解本身可能导致错误——它可以说是最好的技术。真正的难题比这个更深刻：

我们怎样才能确切地知道，一定是在朝着一条定理前进？而不是在毫无意义的空转？

我们是在一个什么样的"空间"中观察问题呢？在已经选好的空间中，用哪种行动来缩短问题和目标之间的"距离"？

这三个问题，才是问题空间理论的核心：

1. 选对空间：同一个问题，换一个角度看（空间），难度完全不同。比如几何题硬算不如添加辅助线。
2. 验证方向：如何判断当前走的路通向目标，而不是在原地打转？
3. 缩短距离：每一步操作，是否真的拉近了你与目标的距离？

有学者提出，可以用问题分解技术反过来解决这个问题：我们需要时不时的"后退几步"，看看正在发生什么，并根据观察结果重新调整方向，以完成手边的任务。

三个实战方法

知识库中的「思考的方法：联想、倒推与去条件」给出了三个可操作的工具：

1. 联想

遇到问题，先回忆解决过的与之类似的问题。

• 计算立方体的对角线 → 从矩形对角线延伸
• 小数的加法 → 从整数加法拓展

案例（X 射线治疗肿瘤实验）：先让被试阅读"军队从几个方向同时小规模攻击，击溃防守严密的堡垒"的军事材料，然后解决"医生如何用高强度 X 射线杀死肿瘤而不伤及周围组织"的问题。结果是：

联想——特别是被点拨后的联想——能极大提高突破的概率。

2. 倒推

从目标反推当前应该做什么。

经典例子（波利亚《怎样解题》）：用 9 升桶和 4 升桶在河里取 6 升水，要求步骤最少。

• 目标：9 升桶里装 6 升 → 意味着 9 − 3 = 6，需要小桶里有 3 升
• 而 4 − 1 = 3，需要小桶里只有 1 升
• 1 升怎么来？9 − 4 − 4 = 1

从目标倒着推，路径立刻清晰。

3. 去条件法

问题条件多，越具体，但也越容易被过多条件捆绑住手脚。去条件法通过移除条件解放思维，先推出中间结果，再加回条件。

例子（《怎样解题》）：已知线段 BC，求点 A，满足 ∠BAC = α，且 A 到 BC 的距离为 h。

• 去掉第二个条件：满足 ∠BAC = α 的所有点，是弦 BC 对应的弧
• 去掉第一个条件：满足距离为 h 的所有点，是距 BC 为 h 的两条平行线
• 叠加两个结果：弧与两条平行线的交点即为答案

何时后退？

技能练得越熟，越容易形成思维惯性：遇到问题下意识用熟悉的方法，对了很快，不对就钻进牛角尖。解决的办法有两个：

1. 问题难以解决时，适当后退，从更大层面纵观全局，重新选择解决路径
2. 保持思维活跃，反复交叉锻炼相对立的方法，充分理解每种方法的前置条件、使用环境与局限

保持通向你所储存经验的路径是很重要的。