立体几何
从二维到三维，研究空间图形的位置关系、度量计算与逻辑推理。
1.1 空间直角坐标系
定义
在空间中，取三条互相垂直且相交于一点 O 的数轴——x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），共同构成空间直角坐标系，记作 Oxyz。
三条坐标轴两两确定的平面称为坐标平面：
- xOy 平面——由 x 轴和 y 轴确定（z = 0）
- yOz 平面——由 y 轴和 z 轴确定（x = 0）
- zOx 平面——由 z 轴和 x 轴确定（y = 0）
点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点 P 对应唯一的有序实数组 (x, y, z)，称为点 P 的坐标：
- x——点 P 到 yOz 平面的有向距离
- y——点 P 到 zOx 平面的有向距离
- z——点 P 到 xOy 平面的有向距离
距离公式
空间中两点 P1(x1, y1, z1) 和 P2(x2, y2, z2) 的距离为：
|P1P2| = √(x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²
例：求点 A(1, −2, 3) 与点 B(4, 2, −1) 之间的距离。
解：|AB| = √(4−1)² + (2−(−2))² + (−1−3)²
= √3² + 4² + (−4)² = √9 + 16 + 16 = √41
所以 |AB| = √41。
1.2 空间几何体的结构
多面体
由若干个平面多边形围成的封闭几何体称为多面体。
棱柱
棱柱：有两个互相平行且全等的多边形面作为底面，其余各面都是平行四边形，且所有侧棱互相平行。
- 分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
- 侧面都是平行四边形
- 侧棱互相平行且相等（直棱柱的侧棱垂直于底面）
棱锥
棱锥：有一个面是多边形（底面），其余各面是有一个公共顶点的三角形。
- 分类：三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥……
- 侧面都是三角形
棱台
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
- 上下底面相似（对应边平行）
- 侧面是梯形
旋转体
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体。
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体。
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
例：判断下列说法是否正确：
(1) 棱柱的侧面一定是平行四边形。 正确（由棱柱定义）
(2) 棱锥的侧面可以是梯形。 错误（棱锥侧面是三角形）
(3) 用一个平面截圆锥，截面和底面之间的部分是圆台。 错误（需用平行于底面的平面）
1.3 空间几何体的三视图和直观图
三视图
三视图是从三个不同方向观察同一个几何体得到的投影图：
- 正视图（主视图）——从正前方观察
- 侧视图（左视图）——从左方观察
- 俯视图——从正上方观察
三视图的绘制原则：长对正、高平齐、宽相等。
斜二测画法
斜二测画法是画空间几何体直观图的一种常用方法：
- 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴交于点 O。画直观图时，把它们画成对应的 x' 轴和 y' 轴，两轴交于点 O'，使 ∠x'O'y' = 45°（或 135°）。
- 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半。
- 平行于 z 轴的线段（竖直线），在直观图中保持原长度不变且方向不变。
例：用斜二测画法画一个边长为 2 的正方形的直观图。
画法：
(1) 在原正方形 ABCD 中建立坐标系，A 为原点，AB 在 x 轴上，AD 在 y 轴上。
(2) 令 O' 与 A' 重合，画 x' 轴和 y' 轴，使 ∠x'O'y' = 45°。取 A'B' = 2（x 轴方向长度不变），取 A'D' = 1（y 轴方向长度减半）。
(3) 过 D' 作 x' 轴的平行线，过 B' 作 y' 轴的平行线，交于 C'。
(4) 连接 A'B'C'D' 即得直观图（是一个平行四边形）。
1.4 空间几何体的表面积与体积
柱体
圆柱表面积：S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
柱体体积：V = Sh（S 为底面积，h 为高）
圆柱体积：V = πr²h
锥体
圆锥表面积：S = πr² + πrl
锥体体积：V = ⅓Sh
圆锥体积：V = ⅓πr²h
台体
圆台表面积：S = π(r² + r'² + rl + r'l)
台体体积：V = ⅓(S' + √S'S + S)h
其中 S、S′ 为两个底面的面积，h 为高。
圆台体积：V = ⅓π(r² + rr' + r'²)h
球
球的表面积：S = 4πR²
球的体积：V = &frac43;πR³
例：已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，求圆锥的表面积和体积。
解：母线 l = √r² + h² = √3² + 4² = 5
体积 V = ⅓πr²h = ⅓π × 9 × 4 = 12π
表面积 S = πr² + πrl = 9π + 15π = 24π
1.5 空间点、直线、平面之间的位置关系
平面的基本性质（公理体系）
立体几何以下面 4 个公理为出发点：
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
空间两条直线的位置关系
- 平行——在同一平面内且没有公共点
- 相交——在同一平面内且有一个公共点
- 异面——不同在任何一个平面内（既不平行也不相交）
例：判断下列说法是否正确：
(1) 两条没有公共点的直线是平行直线。 错误（也可能是异面直线）
(2) 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面。 正确
(3) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 正确（直线与直线外一点先确定唯一平面，再在该平面内应用平行公理）
1.6 直线、平面平行的判定及其性质
直线与平面平行
判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a ⊄ α，b ⊂ α，a ∥ b ⇒ a ∥ α
性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
a ∥ α，a ⊂ β，α ∩ β = b ⇒ a ∥ b
平面与平面平行
判定定理：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
a ⊂ β，b ⊂ β，a ∩ b = O，a ∥ α，b ∥ α ⇒ β ∥ α
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
α ∥ β，α ∩ γ = a，β ∩ γ = b ⇒ a ∥ b
例：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、AD 的中点。求证：EF ∥ 平面 BDA1。
证明：连接 BD。
在 ▵ABD 中，E、F 分别为 AB、AD 的中点，
所以 EF ∥ BD（三角形中位线定理）。
又因为 BD ⊂ 平面 BDA1，而 EF ⊄ 平面 BDA1，
由线面平行的判定定理，EF ∥ 平面 BDA1。得证。
1.7 直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面垂直
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
l ⊥ a，l ⊥ b，a ⊂ α，b ⊂ α，a ∩ b = O ⇒ l ⊥ α
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
l ⊥ α，m ⊥ α ⇒ l ∥ m
平面与平面垂直
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
l ⊥ α，l ⊂ β ⇒ β ⊥ α
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
α ⊥ β，α ∩ β = l，a ⊂ β，a ⊥ l ⇒ a ⊥ α
例：在三棱锥 P-ABC 中，PA ⊥ 平面 ABC，AB ⊥ BC。求证：BC ⊥ 平面 PAB。
证明：因为 PA ⊥ 平面 ABC，BC ⊂ 平面 ABC，
所以 PA ⊥ BC（线面垂直的定义）。
又因为 AB ⊥ BC（已知），且 PA ∩ AB = A，
所以 BC ⊥ 平面 PAB（线面垂直的判定定理）。得证。