计数原理

问题：小明从 A 地到 B 地，可以坐飞机、火车或汽车。飞机有 2 个班次，火车有 3 个班次，汽车有 1 个班次。小明从 A 地到 B 地共有多少种不同的选择？

思考：坐飞机有 2 种选择，坐火车有 3 种选择，坐汽车有 1 种选择。

这些方式是互斥且不重叠的——选择了飞机就不会同时选择火车。

所以总选择数 = 2 + 3 + 1 = 6 种。

例：书架上有 5 本不同的语文书、3 本不同的数学书、2 本不同的英语书。从中任取一本，有多少种不同的取法？

分析：取一本书有三类方案——取语文书、取数学书、取英语书。

取语文书有 5 种方法，取数学书有 3 种方法，取英语书有 2 种方法。

总取法 = 5 + 3 + 2 = 10 种。

问题：小明有 3 件上衣和 2 条裤子。他要选一件上衣和一条裤子搭配出门，共有多少种不同的穿法？

思考：先选上衣，有 3 种选择；再选裤子，有 2 种选择。

穿上衣的每一种都可以搭配 2 条不同的裤子。

所以总搭配数 = 3 × 2 = 6 种。

例：设置一个 4 位数字密码（每位 0~9），共有多少种不同的密码？

分析：设置密码需要 4 个步骤——依次确定第 1 位、第 2 位、第 3 位、第 4 位数字。

每一位都有 10 种选择（0~9）。

总密码数 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ = 10000 种。

问题：有 3 个同学 A、B、C 要排成一排照相，共有多少种不同的排法？

思考：第一个位置有 3 种选择（A、B、C 都可以）；

第二个位置有 2 种选择（剩下 2 人中选）；

第三个位置只有 1 种选择（最后 1 人）。

总排法 = 3 × 2 × 1 = 6 种。

例：从 4 本不同的书中选出 3 本，按从左到右的顺序摆放在书架上，有多少种不同的摆放方式？

分析：这是从 4 个元素中取 3 个的排列问题，顺序重要。

方法一（分步）：第 1 位有 4 种选择，第 2 位有 3 种，第 3 位有 2 种。

总排法 = 4 × 3 × 2 = 24 种。

方法二（公式）：P(4,3) = 4! / (4−3)! = 24 / 1 = 24 种。

问题：从 A、B、C 三人中选出 2 人组成一个小组，有多少种不同的选法？

思考：可能的组合有——(A,B)、(A,C)、(B,C)，共 3 种。

注意：(A,B) 和 (B,A) 是同一个小组，顺序不重要！

例：从 5 本书中选 3 本送给朋友（不区分顺序），有多少种不同的送法？

分析：从 5 个元素中取 3 个的组合问题，顺序不重要。

C(5,3) = 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10 种。

对比：如果是从 5 本书中选 3 本排列到书架上（顺序重要），则有 P(5,3) = 60 种。

例：求 (x + 2)⁵ 展开式中 x³ 的系数。

分析：根据二项式定理，展开式中 x³ 项对应的 k = 2（因为 x⁵⁻² = x³）。

该项为 C(5,2) · x³ · 2² = 10 × x³ × 4 = 40x³。

所以 x³ 的系数为 40。