复数
从“没有实数解”到“有复数解”——虚数单位 i 扩展了数系；代数基本定理进一步说明，每个非常数复系数多项式在复数范围内都有根。
一、为什么要引入复数
1.1 一个"无解"的方程
考虑一个最简单的方程：
移项得 x² = −1。在实数范围内，任何实数的平方都是非负的，所以这个方程没有实数解。
这不是个例。许多形如 x² = a（a < 0）的方程在实数范围内都无解。例如：
- x² + 4 = 0 ⇒ x² = −4，无实数解
- x² + 2 = 0 ⇒ x² = −2，无实数解
1.2 数系的扩展脉络
数系的每一次扩展，都是为了解决上一级数系中某些方程无解的问题：
| 数系 | 解决的问题 | 举例 |
|---|---|---|
| 自然数 N | 用来数数——不够用时需要减法 | 3 − 5 = ? |
| 整数 Z | x + 5 = 3 ⇒ x = −2（负数的引入） | −2 × 3 = −6 |
| 有理数 Q | 2x = 3 ⇒ x = 3/2（分数的引入） | 1 ÷ 3 = 1/3 |
| 实数 R | x² = 2 ⇒ x = √2（无理数的引入） | √2, π, e |
| 复数 C | x² = −1 ⇒ x = i（虚数的引入） | i, 2 + 3i |
核心思想：每一次扩展，我们都"创造"一个新数，让原来无解的方程有解。虚数 i 就是这样的创造——我们定义 i² = −1，于是 x² + 1 = 0 就有了解 x = i 和 x = −i。
复数不仅解决了代数方程的求解问题，更在物理学（交流电路、量子力学）、工程学（信号处理、控制论）中有广泛的应用。
二、复数的概念
2.1 虚数单位 i
我们定义虚数单位 i 满足：
i² = −1
约定负实数的主平方根 √(−1) = i。更一般地，对正实数 a，主平方根 √(−a) = i√a；方程 x² = −a 的两个解则是 x = ±i√a。
例：
√(−4) = i√4 = 2i
√(−9) = i√9 = 3i
√(−5) = i√5
2.2 复数的定义
复数（Complex Number）是指形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位。
z = a + bi
a 称为复数的实部（Real Part），记作 Re(z) = a
b 称为复数的虚部（Imaginary Part），记作 Im(z) = b
例：
z₁ = 3 + 2i：实部 Re(z₁) = 3，虚部 Im(z₁) = 2
z₂ = −1 + 4i：实部 Re(z₂) = −1，虚部 Im(z₂) = 4
z₃ = 5（即 5 + 0i）：实部 5，虚部 0 ⇒ 纯实数
z₄ = 3i（即 0 + 3i）：实部 0，虚部 3 ⇒ 纯虚数
2.3 复数相等
两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等：
a + bi = c + di ⇔ a = c 且 b = d
例：已知 (x + y) + (x − y)i = 3 + i，求 x, y。
由复数相等条件：
x + y = 3
x − y = 1
解得：x = 2, y = 1
所以 x = 2, y = 1
三、复数的几何意义
3.1 复平面
每个复数 z = a + bi 可以唯一对应平面上的一个点 (a, b)：
- 横轴（x 轴）代表实轴（Real Axis）——对应实部 a
- 纵轴（y 轴）代表虚轴（Imaginary Axis）——对应虚部 b
这个平面称为复平面（Complex Plane），也叫阿甘图（Argand Diagram）。
几何对应：
复数 z = a + bi ⇔ 点 P(a, b) ⇔ 向量 OP = (a, b)
复数的加减法，就对应了向量的加减法。
3.2 复数的模
模（Modulus）是复数 z = a + bi 到原点的距离：
|z| = √(a² + b²)
几何意义：点 (a, b) 到原点 O 的距离（勾股定理）
例：求 z = 3 + 4i 的模。
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
|3 + 4i| = 5
例：求 z = 1 − i 的模。
|z| = √(1² + (−1)²) = √(1 + 1) = √2
|1 − i| = √2
四、复数的四则运算
4.1 加减法
复数加减法：实部相加减，虚部相加减：
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
几何意义：对应向量的平行四边形法则（加法）和三角形法则（减法）。
例：(2 + 5i) + (3 − 2i) = (2 + 3) + (5 − 2)i = 5 + 3i
例：(4 + i) − (1 + 3i) = (4 − 1) + (1 − 3)i = 3 − 2i
4.2 乘法
按照分配律展开，并利用 i² = −1：
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²
= (ac − bd) + (ad + bc)i
例：(2 + 3i)(1 + 4i)
= 2 × 1 + 2 × 4i + 3i × 1 + 3i × 4i
= 2 + 8i + 3i + 12i²
= 2 + 11i + 12(−1)
= 2 + 11i − 12
= −10 + 11i
例：(1 + i)²
= (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i²
= 1 + 2i − 1
= 2i
4.3 除法 — 分母实数化
复数除法的核心思想：利用共轭复数将分母化为实数。
(a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²)
其中 c − di 是 c + di 的共轭复数，且除数 c + di ≠ 0（即 c、d 不同时为 0）
例：计算 (1 + i) / (1 − i)
分子分母同乘分母的共轭 (1 + i)：
= (1 + i)(1 + i) / (1 − i)(1 + i)
= (1 + 2i + i²) / (1 − i²)
= (1 + 2i − 1) / (1 − (−1))
= 2i / 2
= i
例：计算 (3 + i) / (2 − i)
= (3 + i)(2 + i) / (2 − i)(2 + i)
= (6 + 3i + 2i + i²) / (4 − i²)
= (6 + 5i − 1) / (4 + 1)
= (5 + 5i) / 5
= 1 + i
五、共轭复数
5.1 定义
复数 z = a + bi 的共轭复数（Conjugate）记为 z̄（z bar）：
z̄ = a − bi
几何意义：在复平面上关于实轴对称
5.2 共轭的性质
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| z 与 z̄ 的乘积 | z · z̄ = a² + b² = |z|²（总是实数） |
| z + z̄ | z + z̄ = 2a（实数） |
| z − z̄ | z − z̄ = 2bi（纯虚数或 0） |
| 共轭的共轭 | (z̄)̄ = z |
| 和的共轭 | (z₁ + z₂) 的共轭 = z̄₁ + z̄₂ |
| 积的共轭 | (z₁ · z₂) 的共轭 = z̄₁ · z̄₂ |
例：z = 3 + 4i，则 z̄ = 3 − 4i
z · z̄ = (3 + 4i)(3 − 4i) = 9 − 12i + 12i − 16i²
= 9 + 16 = 25 = 5² = |z|²
验证了 z · z̄ = |z|²
六、复数的三角形式（简要介绍）
6.1 从直角坐标到极坐标
在复平面上，非零复数 z = a + bi 也可以用极坐标表示：
- r = |z| = √(a² + b²)——到原点的距离（模）
- θ 为从正实轴到向量 OP 的夹角，称为辐角（Argument）
z = r(cos θ + i sin θ)
其中 r = |z| > 0，θ 是辐角；同一非零复数的辐角相差 2kπ（k 为整数）。0 没有确定的辐角。
a = r cos θ，b = r sin θ
例：将 z = 1 + i 化为三角形式。
r = |z| = √(1² + 1²) = √2
cos θ = 1/√2，sin θ = 1/√2 ⇒ θ = 45° = π/4
z = √2 (cos π/4 + i sin π/4)
6.2 三角形式的乘法和除法
三角形式下，乘法和除法变得非常简洁：
乘法：r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) · r₂(cos θ₂ + i sin θ₂)
= r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]
除法：r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) / r₂(cos θ₂ + i sin θ₂)，其中 r₂ > 0
= (r₁/r₂)[cos(θ₁ − θ₂) + i sin(θ₁ − θ₂)]
例：用三角形式计算 (1 + i)(√3 + i)
1 + i = √2(cos π/4 + i sin π/4)
√3 + i = 2(cos π/6 + i sin π/6)（因为 r = 2，θ = 30°）
乘积 = √2 × 2 × [cos(π/4 + π/6) + i sin(π/4 + π/6)]
= 2√2 [cos(5π/12) + i sin(5π/12)]
= 2√2(cos 75° + i sin 75°)
七、综合练习
完成以下 5 道练习，检验你对复数的掌握程度。
练习 1（20分）
已知复数 z = 2 − i，求：
(1) z 的实部和虚部
(2) z 的共轭复数 z̄
(3) z 的模 |z|
(4) z²
练习 2（20分）
计算 (2 + 3i)(1 − 2i) − (4 + i)，结果是多少？
练习 3（20分）
计算 (1 + i) / (2 − i)，将结果化为 a + bi 的形式。
练习 4（20分）
已知复数 z 满足 (1 + i)z = 2i，求 z。
练习 5（20分）
在复平面上，点 A 对应复数 1 + i，点 B 对应复数 2 − 3i。求向量 AB 对应的复数，以及 |AB|。