3. 复数与平面向量
复数与平面向量之间存在自然对应——对非零复数而言，乘以虚数单位 i 就是将对应向量逆时针旋转 90 度；零向量在这一变换下仍为零向量。
一、复数与向量的一一对应
在前面的课程中我们已经知道：
- 复数 z = a + bi 对应复平面上的点 P(a, b)
- 从原点到点 P 的有向线段，就是向量 OP = (a, b)
复数 z = a + bi ⇔ 向量 OP = (a, b)
——这一一对应是理解"复数乘法即向量旋转"的基础。
例：
复数 3 + 2i → 向量 (3, 2)，指向右上方
复数 −1 + i → 向量 (−1, 1)，指向左上方
复数 2i（即 0 + 2i）→ 向量 (0, 2)，竖直向上
复数 −3（即 −3 + 0i）→ 向量 (−3, 0)，水平向左
二、交互式演示：i 的旋转效果
拖拽滑块调整复数，或直接点击画布上的点，然后点击「乘以 i」观察向量如何旋转。
三、数学原理：为什么乘以 i 就是旋转？
3.1 公式推导
设复数 z = a + bi，它对应的向量是 (a, b)。将 z 乘以 i：
z · i = (a + bi)i = ai + bi² = −b + ai
结果 z' = −b + ai 对应的向量是 (−b, a)。
关键观察：原向量 (a, b) 被变换为 (−b, a)。这正是 逆时针旋转 90 度 的坐标变换公式！
验证：旋转 90° 变换公式为 (x, y) → (−y, x)，与 (a, b) → (−b, a) 完全一致。
3.2 连续旋转：i 的幂次
连续乘以 i，相当于不断逆时针旋转 90 度：
| 运算 | 复数结果 | 向量 | 旋转角度 |
|---|---|---|---|
| z | a + bi | (a, b) | 0°（原始位置） |
| z · i | −b + ai | (−b, a) | 逆时针 90° |
| z · i² = z · (−1) | −a − bi | (−a, −b) | 逆时针 180° |
| z · i³ = z · (−i) | b − ai | (b, −a) | 逆时针 270° |
| z · i⁴ = z · 1 | a + bi | (a, b) | 逆时针 360°（回到原位） |
这揭示了一个深刻的几何事实：i 的幂次对应了旋转的周期，4 次乘法回到起点。
3.3 任意旋转：三角形式
更一般地，任意复数乘以另一个复数，既旋转又伸缩。但如果乘的是模为 1 的复数（即位于单位圆上的复数），则只旋转不伸缩：
(cos θ + i sin θ) · (a + bi) = 将向量 (a, b) 逆时针旋转 θ 角
特别地，当 θ = 90° = π/2 时，cos π/2 + i sin π/2 = 0 + i · 1 = i。
四、几何直观：从向量角度看 i
4.1 纯虚数 i 自身的几何意义
单独的虚数单位 i = 0 + 1·i，在复平面上对应点 (0, 1)，即一个长度为 1、竖直向上的向量。
将任意实数乘以 i：
- 1 × i = i：实数 1（水平向右）→ 纯虚数 i（竖直向上）——旋转 90°
- −1 × i = −i：实数 −1（水平向左）→ 纯虚数 −i（竖直向下）——旋转 90°
- 2 × i = 2i：实数 2（水平向右，长度 2）→ 纯虚数 2i（竖直向上，长度 2）——旋转 90°，长度不变
所以说：i 就像一个"旋转算子"——把它乘到任何一个复数上，相当于把该复数对应的向量逆时针旋转 90°，同时保持向量的长度（模）不变。
4.2 复数的乘法 = 旋转 + 伸缩
用三角形式理解更清晰。设 z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁)，z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂)：
z₁ · z₂ = r₁r₂ [ cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂) ]
乘积的模为 r₁r₂；把 z₂ 乘到 z₁ 上时，z₁ 按因子 r₂ 伸缩，并逆时针旋转 θ₂
当 z₂ = i 时，r₂ = 1（模不变），θ₂ = 90°（正好旋转 90°）。
五、经典例子验证
例 1：z = 1 + i，求 z · i 并验证旋转效果。
z = 1 + i，向量 (1, 1)，方向 45°
z · i = (1 + i)i = i + i² = −1 + i，向量 (−1, 1)，方向 135°
从 45° 到 135°，正好逆时针旋转了 90°！
例 2：z = 2 − 3i，求 z · i 并验证。
z = 2 − 3i，向量 (2, −3)，在第四象限
z · i = (2 − 3i)i = 2i − 3i² = 3 + 2i，向量 (3, 2)
验证：(−b, a) = (−(−3), 2) = (3, 2) ✓
从 (2, −3) 到 (3, 2)，确实逆时针旋转了 90°。
例 3：验证 i² = −1 的旋转意义。
取 z = 1（实数），乘以 i 一次：1 × i = i（从水平向右转到竖直向上）
再乘一次 i：i × i = i² = −1（从竖直向上转到水平向左）
两次 90° 旋转 = 180° 旋转，结果是从 1 变成了 −1（方向完全相反）。
这说明：i² = −1 在几何上非常直观——连续两次旋转 90° 就是旋转 180°，相当于取相反数。
六、互动问答
点击选项提交答案，系统自动判分。