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曲线和方程 — 圆锥曲线

1.1 曲线和方程

曲线的方程、方程的曲线的概念：

在平面直角坐标系中，如果某曲线 C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程 \(f(x, y) = 0\) 的实数解建立了如下关系：

• 纯粹性：曲线上所有点的坐标都满足这个方程；
• 完备性：以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

求曲线方程的一般步骤：

1. 建系：建立适当的平面直角坐标系；
2. 设点：设曲线上任意一点 \(M(x, y)\)（即动点）；
3. 列式：写出适合条件 \(p(M)\) 的点的集合 \(P = \{M \mid p(M)\}\)，列出方程 \(f(x, y) = 0\)；
4. 化简：化方程 \(f(x, y) = 0\) 为最简形式；
5. 验证：验证化简后的方程的解为坐标的点是否都在曲线上（剔除多余解，补回遗漏解）。

1.2 椭圆

定义：平面内与两个定点 \(F_1\)、\(F_2\) 的距离之和等于常数（大于 \(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

标准方程：

• 焦点在 \(x\) 轴上：\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），焦点 \(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)
• 焦点在 \(y\) 轴上：\(\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），焦点 \(F_1(0, -c)\)、\(F_2(0, c)\)

其中 \(a^2 = b^2 + c^2\)。

性质：

• 范围：\(-a \le x \le a\)，\(-b \le y \le b\)（焦点在 \(x\) 轴时）
• 对称性：关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称
• 顶点：\((\pm a, 0)\)、\((0, \pm b)\)（焦点在 \(x\) 轴时）
• 离心率：\(e = \dfrac{c}{a}\)（\(0 < e < 1\)），刻画椭圆的扁平程度，\(e\) 越接近 0 椭圆越圆，\(e\) 越接近 1 椭圆越扁

1.3 双曲线

定义：平面内与两个定点 \(F_1\)、\(F_2\) 的距离之差的绝对值等于正常数（小于 \(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。常数若等于 0，所得轨迹是线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线，并不是双曲线。

标准方程：

• 焦点在 \(x\) 轴上：\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)），焦点 \(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)
• 焦点在 \(y\) 轴上：\(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)），焦点 \(F_1(0, -c)\)、\(F_2(0, c)\)

其中 \(c^2 = a^2 + b^2\)。

性质：

• 范围：\(x \le -a\) 或 \(x \ge a\)，\(y \in \R\)（焦点在 \(x\) 轴时）
• 对称性：关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称
• 顶点：\((\pm a, 0)\)（焦点在 \(x\) 轴时）
• 渐近线：\(y = \pm \dfrac{b}{a}x\)（焦点在 \(x\) 轴时）
• 离心率：\(e = \dfrac{c}{a}\)（\(e > 1\)），刻画双曲线开口大小，\(e\) 越大开口越大

1.4 抛物线

定义：平面内与一个定点 \(F\) 和一条定直线 \(l\)（\(F\) 不在 \(l\) 上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 \(F\) 叫做抛物线的焦点，直线 \(l\) 叫做抛物线的准线。

标准方程的四种形式：

标准方程	焦点坐标	准线方程	开口方向
\(y^2 = 2px\)（\(p > 0\)）	\(\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)\)	\(x = -\dfrac{p}{2}\)	向右
\(y^2 = -2px\)（\(p > 0\)）	\(\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)\)	\(x = \dfrac{p}{2}\)	向左
\(x^2 = 2py\)（\(p > 0\)）	\(\left(0, \dfrac{p}{2}\right)\)	\(y = -\dfrac{p}{2}\)	向上
\(x^2 = -2py\)（\(p > 0\)）	\(\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)\)	\(y = \dfrac{p}{2}\)	向下

性质：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；离心率 \(e = 1\)（统一定义下的离心率）。

1.5 圆锥曲线的统一定义

统一定义（第二定义）：平面内到一个定点 \(F\)（焦点）的距离与到一条定直线 \(l\)（准线）的距离之比为正常数 \(e\)（离心率）的点的轨迹叫做圆锥曲线，其中焦点 \(F\) 不在准线 \(l\) 上。

• 当 \(0 < e < 1\) 时，轨迹是椭圆；
• 当 \(e = 1\) 时，轨迹是抛物线；
• 当 \(e > 1\) 时，轨迹是双曲线。

三种曲线的对比：

对比项	椭圆	双曲线	抛物线
定义（距离关系）	到两焦点距离之和为常数 \(2a\)	到两焦点距离之差的绝对值为常数 \(2a\)	到焦点与到准线距离相等
标准方程（焦点在 \(x\) 轴）	\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)	\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)	\(y^2 = 2px\)
离心率 \(e\) 范围	\(0 < e < 1\)	\(e > 1\)	\(e = 1\)
\(a, b, c\) 关系	\(a^2 = b^2 + c^2\)	\(c^2 = a^2 + b^2\)	\(p\) 为焦点到准线距离
图像特征	封闭曲线	两支开放曲线，有渐近线	单支开放曲线