6. 反函数
反函数（Inverse Function）是与原函数互为"逆操作"的函数——输入输出互换，图像关于 y = x 对称。
一、从"逆运算"理解反函数
在数学中，很多运算都有对应的"逆运算"：
| 运算 | 逆运算 | 原运算 → 结果 → 逆运算 → 原值 |
|---|---|---|
| 加法 +3 | 减法 −3 | x → x+3 → (x+3)−3 = x |
| 平方 x² | 开方 √x | x → x² → √(x²) = x（x ≥ 0） |
| 指数 2x | 对数 log₂x | x → 2x → log₂(2x) = x |
把"运算"看作函数 f，它的"逆运算"就是它的反函数 f⁻¹。
核心思想：f 和 f⁻¹ 互为"逆映射"——先走 f 再走 f⁻¹，相当于什么都没做（回到了起点 x）。
二、反函数的定义与存在条件
2.1 正式定义
设函数 y = f(x) 的定义域为 A，值域为 C。
如果对于 C 中的每一个 y，在 A 中都有唯一的 x 与之对应，
那么就能定义一个新的函数 x = f⁻¹(y)，称为 f 的反函数。
习惯上将反函数写作 y = f⁻¹(x)（即把 x 和 y 互换后书写）。
2.2 存在条件：一一对应（单调性）
一个函数有反函数的充要条件是：它在定义域内是一一映射（单射 + 满射）。
- 如果 f 在区间 I 上严格单调（严格增或严格减），则它一定有反函数
- 如果 f 不是一一映射（如 y = x² 在整个 R 上，因为一个 y 可能对应两个 x），则没有反函数
- 但可以通过限制定义域来构造反函数（如 y = x², x ≥ 0 的反函数是 y = √x）
注意：单调性只是充分条件，不是一般情形下的必要条件。一个函数可以不单调但仍然一一对应（例如定义域不成区间的离散函数）；若函数在一个区间上连续，则它在该区间上一一对应当且仅当它严格单调。
三、交互式演示：原函数 ↔ 反函数
选择下方函数类型，拖拽滑块调节参数，观察原函数（蓝）与反函数（橙）关于 y = x（灰虚线）对称。
四、求反函数的步骤
例 1：求 f(x) = 3x + 2 的反函数
① 互换 x, y：x = 3y + 2
② 解出 y：3y = x − 2 → y = (x − 2)/3
③ 定义域：原函数值域为 R，所以反函数 f⁻¹(x) = (x − 2)/3，定义域 R
f⁻¹(x) = (x − 2)/3
例 2：求 f(x) = 2x 的反函数
① 互换 x, y：x = 2y
② 解出 y：y = log₂x
③ 定义域：原函数值域为 (0, +∞)，所以反函数 f⁻¹(x) = log₂x，定义域 (0, +∞)
f⁻¹(x) = log₂x (x > 0)
例 3：求 f(x) = x² + 1（x ≥ 0）的反函数
① 互换 x, y：x = y² + 1
② 解出 y：y² = x − 1 → y = √(x − 1)（因为原限制 x ≥ 0，对应反函数取非负根）
③ 定义域：原函数值域为 [1, +∞)，所以 f⁻¹(x) = √(x − 1)，定义域 [1, +∞)
f⁻¹(x) = √(x − 1) (x ≥ 1)
五、原函数与反函数的关系
5.1 定义域和值域互换
D(f) = R(f⁻¹)，R(f) = D(f⁻¹)
原函数的定义域 = 反函数的值域
原函数的值域 = 反函数的定义域
5.2 图像关于 y = x 对称
点 (a, b) 在 y = f(x) 上
⇔ 点 (b, a) 在 y = f⁻¹(x) 上
两条曲线关于直线 y = x 对称
5.3 复合性质（最核心的性质）
f(f⁻¹(x)) = x（对任意 x ∈ D(f⁻¹) 成立）
f⁻¹(f(x)) = x（对任意 x ∈ D(f) 成立）
"先走 f 再走 f⁻¹，回到起点"——这是判断两个函数是否互为反函数的充要条件。
验证：f(x) = 2x + 1，g(x) = (x − 1)/2
f(g(x)) = 2·(x − 1)/2 + 1 = (x − 1) + 1 = x ✓
g(f(x)) = (2x + 1 − 1)/2 = 2x/2 = x ✓
所以 f 和 g 互为反函数。
六、常见函数的反函数
| 函数 f(x) | 定义域 | 反函数 f⁻¹(x) | 备注 |
|---|---|---|---|
| kx + b (k ≠ 0) | R | (x − b)/k | 一次函数 |
| ax (a > 0, a ≠ 1) | R | logax | 指数 ↔ 对数 |
| logax (a > 0, a ≠ 1) | (0, +∞) | ax | 对数 ↔ 指数 |
| x² (x ≥ 0) | [0, +∞) | √x | 限制定义域后 |
| x³ | R | ∛x = x1/3 | 奇函数，反函数也是奇函数 |
| sin x（x ∈ [−π/2, π/2]） | [−π/2, π/2] | arcsin x | 限制定义域，值域 [−π/2, π/2] |
| cos x（x ∈ [0, π]） | [0, π] | arccos x | 限制定义域，值域 [0, π] |
| tan x（x ∈ (−π/2, π/2)） | (−π/2, π/2) | arctan x | 限制定义域，值域 (−π/2, π/2) |