圆周角定理的几何证明

同弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半。

一、定理陈述

圆周角是顶点在圆上、两边分别与圆还有另一个交点的角。∠ACB 所对的弧，是不含顶点 C 的弧 AB；与它对应的圆心角 ∠AOB 也必须对着同一条弧（必要时取大于 180° 的优角）。

圆 O 中，同弧 AB 所对的圆周角相等；若 C、D 位于弦 AB 的同一侧，则 ∠ACB = ∠ADB。对应的圆心角满足 ∠AOB = 2∠ACB；若 C、D 位于弦 AB 两侧，两个圆周角所对的是两条互补的弧，因而两角互补而不相等。

∠AOB = 2 × ∠ACB

圆周角定理是圆的重要性质之一，它揭示了同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系。下面通过三种情形来证明这一定理。

二、证明一——圆心在圆周角一边上

辅助线思路：当圆心在圆周角一边上时，连接 O 与另一端点 B 得到辅助线 OB。因为 OA=OB=OC=半径，所以 △OCB 是等腰三角形，∠OCB=∠OBC。再由三角形外角定理 ∠AOB=∠OCB+∠OBC=2∠OCB=2∠ACB。这条辅助线的思路是"利用等腰三角形和外角定理将圆周角与圆心角联系起来"。

分步推导

已知：在 ⊙O 中，圆心 O 在 ∠ACB 的边 CA 上。

求证：∠AOB = 2∠ACB

证明：

① 连接 OB（辅助线）。

② ∵ OA = OB = OC = r（同圆半径相等），

∴ △OCB 是等腰三角形，∠OCB = ∠OBC。

③ 在 △OCB 中，由三角形外角定理：

∠AOB = ∠OCB + ∠OBC（∠AOB 是 △OCB 的外角）。

④ ∴ ∠AOB = ∠OCB + ∠OBC = 2∠OCB = 2∠ACB。

∴ 圆心角等于圆周角的两倍。

三、证明二——圆心在圆周角内部

辅助线思路："连接 CO 并延长交圆于 D"——这条辅助线的目的是将"圆心在内部"的情形转化为"圆心在一边上"的已知情形。因为 ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB，而 ∠ACD 和 ∠DCB 分别是圆心在边上的情况，可分别应用证明一的结论：∠AOD=2∠ACD，∠DOB=2∠DCB，相加得 ∠AOB=2∠ACB。关键技巧是"通过作直径将复杂情形拆分为已证情形"。

分步推导

已知：在 ⊙O 中，圆心 O 在 ∠ACB 的内部。

求证：∠AOB = 2∠ACB

证明：

① 连接 CO 并延长交圆于 D（辅助线）。

② 对于 ∠ACD，圆心 O 在其边 CD 上，由证明一可得：

∠AOD = 2∠ACD。

③ 对于 ∠DCB，圆心 O 在其边 CD 上，由证明一可得：

∠DOB = 2∠DCB。

④ 两式相加：

∠AOD + ∠DOB = 2(∠ACD + ∠DCB)，

即 ∠AOB = 2∠ACB。

∴ 圆心角等于圆周角的两倍。

四、证明三——圆心在圆周角外部

辅助线思路：同样通过"连接 CO 并延长交圆于 D"，将外部情形转化为圆心在边上的情形，用角差代替角和的推导：∠AOB = ∠AOD − ∠BOD = 2∠ACD − 2∠BCD = 2(∠ACD − ∠BCD) = 2∠ACB。

分步推导

已知：在 ⊙O 中，圆心 O 在 ∠ACB 的外部。

求证：∠AOB = 2∠ACB

证明：

① 连接 CO 并延长交圆于 D（辅助线）。

② 对于 ∠ACD，圆心 O 在其边 CD 上，由证明一可得：

∠AOD = 2∠ACD。

③ 对于 ∠BCD，圆心 O 在其边 CD 上，由证明一可得：

∠BOD = 2∠BCD。

④ 两式相减：

∠AOD − ∠BOD = 2(∠ACD − ∠BCD)，

即 ∠AOB = 2∠ACB。

∴ 圆心角等于圆周角的两倍。

五、重要推论——直径所对的圆周角

推论：若 AB 是圆 O 的直径，C 是圆上任意一点（不与 A、B 重合），则 ∠ACB = 90°。即"直径所对的圆周角是直角"。

证明

① ∵ AB 是直径，∠AOB = 180°（圆心角为平角）。

② 由圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，

∴ ∠ACB = ½ ∠AOB = ½ × 180° = 90°。

∴ 直径所对的圆周角是直角。

应用

确定直径圆：若 ∠ACB = 90°，则 C 在以 AB 为直径的圆上（A、B、C 不共线）。
在直角三角形中，斜边中点即为外接圆圆心。
常用于证明线段垂直或构造直角三角形。

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