直线的倾斜角与斜率
1.1 直线的倾斜角与斜率
倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴相交时，以交点为顶点，x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 重合时所得的最小非负角 α，叫做直线 l 的倾斜角；当 l 与 x 轴平行或重合时，规定 α = 0°。因此 0° ≤ α < 180°。
斜率的定义：当 α ≠ 90° 时，倾斜角 α 的正切值叫做直线的斜率，记作 k = tan α。当 α = 90° 时，直线斜率不存在。
过两点的斜率公式：已知直线上两点 P1(x1, y1)、P2(x2, y2)（x1 ≠ x2），则斜率为
k = (y2 − y1) / (x2 − x1)
倾斜角与斜率的关系：
- α = 0° → k = 0（直线水平）
- 0° < α < 90° → k > 0（直线向上倾斜）
- α = 90° → k 不存在（直线竖直）
- 90° < α < 180° → k < 0（直线向下倾斜）
例题 1：已知直线经过点 A(1, 2) 和 B(3, 6)，求直线的倾斜角 α 和斜率 k。
解：
由斜率公式得 k = (6 − 2) / (3 − 1) = 4 / 2 = 2。
因为 k = tan α = 2 > 0，所以 α 为锐角，α = arctan 2。
答：k = 2，α = arctan 2。
概念第 1 题：一条直线的倾斜角 α = 120°，则它的斜率 k 等于多少？
概念第 2 题：已知直线过点 P(2, 3) 和 Q(2, −1)，则该直线的倾斜角为多少？
1.2 直线的方程
点斜式：已知直线过点 P(x0, y0)，斜率为 k，则方程为
y − y0 = k(x − x0)
适用范围：斜率存在（k 为有限值）。
斜截式：已知斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则方程为
y = kx + b
适用范围：斜率存在。b 表示直线与 y 轴交点的纵坐标。
两点式：已知直线过两点 P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，且 x1 ≠ x2，y1 ≠ y2，则方程为
(y − y1) / (y2 − y1) = (x − x1) / (x2 − x1)
截距式：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a、b（a ≠ 0, b ≠ 0），则方程为
x / a + y / b = 1
一般式：所有直线方程都可化为
Ax + By + C = 0
其中 A、B 不同时为 0。当 B ≠ 0 时，斜率 k = −A / B。
例题 2：求经过点 (2, −1)，且斜率为 3 的直线方程，并化为一般式。
解：
由点斜式得 y − (−1) = 3(x − 2)，即 y + 1 = 3x − 6。
整理得 3x − y − 7 = 0。
答：直线方程为 3x − y − 7 = 0。
概念第 3 题：直线 2x − 3y + 6 = 0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是多少？
概念第 4 题：下列哪种形式能够表示任意直线，包括斜率不存在的竖直直线？
1.3 直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点：联立两条直线的方程组，解出的 (x, y) 即为交点坐标。
若方程组有唯一解 → 两直线相交；无解 → 两直线平行；无穷多解 → 两直线重合。
两点间距离公式：点 P1(x1, y1) 与 P2(x2, y2) 之间的距离为
|P1P2| = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²]
点到直线的距离公式：点 P(x0, y0) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)
平行线间的距离公式：两条平行线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 之间的距离为
d = |C1 − C2| / √(A² + B²)
例题 3：已知两条直线 l1：2x + y − 1 = 0 和 l2：x − y + 4 = 0，求它们的交点坐标。
解：
联立方程组：
2x + y − 1 = 0
x − y + 4 = 0
两式相加得 3x + 3 = 0，解得 x = −1。
代入 x − y + 4 = 0 得 −1 − y + 4 = 0，解得 y = 3。
答：交点坐标为 (−1, 3)。
计算第 5 题：点 P(3, 4) 到直线 x + 2y − 1 = 0 的距离是多少？
计算第 6 题：两条平行线 3x + 4y + 2 = 0 和 3x + 4y − 8 = 0 之间的距离是多少？
1.4 圆与方程
圆的标准方程：圆心为 C(a, b)，半径为 r（r > 0）的圆的标准方程为
(x − a)² + (y − b)² = r²
圆的一般方程：展开标准方程并整理可得
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
配方后可化为 (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D² + E² − 4F) / 4。当 D² + E² − 4F > 0 时表示圆，圆心为 (−D/2, −E/2)，半径 r = ½√(D² + E² − 4F)。
直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r。
- 相离：d > r ⇔ 判别式 Δ < 0（无交点）
- 相切：d = r ⇔ Δ = 0（一个交点）
- 相交：d < r ⇔ Δ > 0（两个交点）
例题 4：判断直线 x − y + 4 = 0 与圆 (x − 1)² + y² = 8 的位置关系。
解：
圆心 C(1, 0)，半径 r = √8 = 2√2。
圆心到直线的距离 d = |1 − 0 + 4| / √(1² + (−1)²) = 5 / √2 = 5√2 / 2 ≈ 3.54。
因为 d = 5√2 / 2 > 2√2 = r，所以直线与圆相离。
答：直线与圆相离。
概念第 7 题：圆 x² + y² − 6x + 4y + 9 = 0 的圆心坐标和半径分别是多少？
1.5 直线与圆的综合应用
直线与圆的综合问题通常涉及求圆的方程、判断直线与圆的位置关系、求弦长、求切线方程等。解决这类问题的关键是熟练运用点到直线的距离公式、勾股定理和圆的性质。
常用方法：
- 求圆的方程：根据条件设标准方程或一般方程，利用待定系数法求解
- 判断位置关系：计算圆心到直线的距离 d，与半径 r 比较
- 求弦长：利用垂径定理，弦长 = 2√(r² − d²)
- 求切线：利用圆心到切线的距离等于半径
例题 5：求经过点 A(4, 2) 和 B(−2, −6)，且圆心在直线 y = −2x 上的圆的方程。
解：
设圆心为 C(a, −2a)（因为在 y = −2x 上），半径为 r。
由 |CA| = |CB| 得 (a − 4)² + (−2a − 2)² = (a + 2)² + (−2a + 6)²。
展开得 a² − 8a + 16 + 4a² + 8a + 4 = a² + 4a + 4 + 4a² − 24a + 36。
整理得 5a² + 20 = 5a² − 20a + 40，解得 a = 1。
圆心为 C(1, −2)，r² = (1 − 4)² + (−2 − 2)² = 9 + 16 = 25。
答：圆的方程为 (x − 1)² + (y + 2)² = 25，即 x² + y² − 2x + 4y − 20 = 0。
计算第 8 题：已知直线 l: 3x + 4y − 5 = 0 与圆 C: (x − 1)² + (y + 2)² = 25，则直线与圆的位置关系是？
1.6 空间直角坐标系
定义：在空间中，过同一点 O 作三条两两垂直的数轴 x 轴、y 轴、z 轴，就建立了空间直角坐标系 Oxyz。点 P 对应唯一有序实数组 P(x, y, z)；三个坐标的次序不能交换。
坐标面：xOy、yOz、zOx 分别由两条坐标轴确定。点在 xOy 平面上当且仅当 z = 0；另外两个坐标面的判定同理。
空间两点距离：P1(x1, y1, z1)、P2(x2, y2, z2) 之间
|P1P2| = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)²]
它是平面距离公式增加一个 z 方向差所得；由三次勾股定理即可理解。
空间坐标第 9 题：点 P(2, −3, 0) 位于哪个坐标面上？
计算第 10 题：A(1, 2, 3)、B(4, 6, 3) 两点间的距离是？
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