数学方法（17种方法精讲）
数学方法是解题的"工具包"——每种方法都有特定的适用场景。
以下按逻辑推理、代数变形两大类系统学习 17 种常用方法，
每种方法配 5 个简明例子和 1 道交互式选择题。
点击选项立刻反馈对错+显示解析。
第一类 · 逻辑推理方法
1. 反证法 逻辑推理
什么时候用：直接证明困难时，假设结论不成立，推出与已知条件或公理矛盾，从而原结论成立。
怎么用：否定结论 → 逻辑推导 → 得出矛盾 → 肯定原结论。
怎么用：否定结论 → 逻辑推导 → 得出矛盾 → 肯定原结论。
例1：证明 √2 是无理数
假设 √2 是有理数，设 √2 = p/q（既约分数）→ 2 = p²/q² → p² = 2q² → p 为偶数，设 p = 2k → 4k² = 2q² → q² = 2k² → q 也为偶数 → p, q 有公因子 2，与既约矛盾。
∴ √2 是无理数。
例2：质数有无穷多个
假设只有有限个质数：p₁, p₂, …, pₙ。构造 N = p₁p₂…pₙ + 1。N 不能被任何 pᵢ 整除，故 N 要么是质数要么有新的质因子，与"只有有限个"矛盾。
∴ 质数有无穷多个。
例3：若 a² 是偶数，则 a 是偶数
假设 a 是奇数，设 a = 2k+1 → a² = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1，为奇数，与 a² 是偶数矛盾。
∴ a 必为偶数。
例4：三角形最多有一个直角
假设 △ABC 有两个直角，即 ∠A = 90° 且 ∠B = 90° → ∠A+∠B = 180° → ∠C = 0°，与三角形内角和为 180° 且 ∠C > 0° 矛盾。
∴ 三角形至多有一个直角。
例5：方程 x³ + x + 1 = 0 无有理根
假设有有理根 p/q（既约），代入得 p³/q³ + p/q + 1 = 0 → p³ + pq² + q³ = 0。若 p,q 均为奇数，左端奇数+奇数+奇数=奇数≠0；若一奇一偶，同理矛盾。
∴ 方程无有理根。
反证法 · 选择题
用反证法证明"若 a + b > 10，则 a, b 中至少有一个大于 5"，假设应为：
2. 分析法 逻辑推理
什么时候用：结论复杂或不易直接推导时，从结论出发反向寻找充分条件。
怎么用：要证 A，只需证 B（B⇒A）；要证 B，只需证 C……直到得到一个显然成立的条件。
怎么用：要证 A，只需证 B（B⇒A）；要证 B，只需证 C……直到得到一个显然成立的条件。
问题空间：分析法怎么帮你找思路？
把一道题想象成一次在空间中寻路：初始状态是已知条件，目标状态是所求结论，中间的每一步都是在执行某个允许的操作（公式、恒等变形、定义代入……）。找不到思路，往往不是"不会公式"，而是没想清楚"现在站在哪、下一步该往哪走"。分析法的价值，就是让你从终点倒着找路。
① 框定空间——用符号写下起点和终点：已知是什么，要证/要求的是什么。
② 罗列操作——把可能用到的"动作"列出来：平方、移项、配方、放缩、换元、通分、因式分解……动作清单越全，寻路时越不容易卡住。
③ 从终点反向走——不断问自己："要得到结论，最后一步最可能做什么？" 得到子目标后再往前推；遇到岔路就选一条试探，发现走不通就回退换路，而不是死磕。
示范：求证 a² + b² + 1 ≥ ab + a + b（a, b ∈ R）
反向搜索：要证原不等式，等价于证明 a² + b² + 1 − ab − a − b ≥ 0。
尝试 1（岔路）：想直接用基本不等式 a²+b² ≥ 2ab——代入后问题变成证 ab + 1 ≥ a + b，即 (a−1)(b−1) ≥ 0；但这并非对所有实数 a, b 成立（如 a = 2, b = 1/2 时左边为负）→ 此路不通，回退。
回退换路：先两边乘 2 再整体分组：2a²+2b²+2−2ab−2a−2b = (a−b)² + (a−1)² + (b−1)²。
到达终点：三个平方和 ≥ 0 显然成立，问题得证。
尝试 1（岔路）：想直接用基本不等式 a²+b² ≥ 2ab——代入后问题变成证 ab + 1 ≥ a + b，即 (a−1)(b−1) ≥ 0；但这并非对所有实数 a, b 成立（如 a = 2, b = 1/2 时左边为负）→ 此路不通，回退。
回退换路：先两边乘 2 再整体分组：2a²+2b²+2−2ab−2a−2b = (a−b)² + (a−1)² + (b−1)²。
到达终点：三个平方和 ≥ 0 显然成立，问题得证。
例1：证明 a² + b² ≥ 2ab
要证 a² + b² ≥ 2ab，只需证 a² + b² − 2ab ≥ 0，即 (a−b)² ≥ 0。这是显然成立的。
∴ a² + b² ≥ 2ab 成立。
例2：若 x > 0，求证 x + 1/x ≥ 2
要证 x + 1/x ≥ 2，只需证 x² + 1 ≥ 2x，即 x² − 2x + 1 ≥ 0，即 (x−1)² ≥ 0，显然成立。
∴ x + 1/x ≥ 2 成立（当 x=1 取等）。
例3：求证 √3 + √7 < 2√5
要证 √3 + √7 < 2√5，两边平方（均为正）：3+7+2√21 < 20 → 2√21 < 10 → √21 < 5 → 21 < 25，显然成立。
∴ √3 + √7 < 2√5 成立。
例4：求证 √(a²+1) ≥ |a|
要证 √(a²+1) ≥ |a|，两边平方得 a²+1 ≥ a²，即 1 ≥ 0，显然成立。
∴ √(a²+1) ≥ |a| 恒成立。
例5：求证 (a²+b²)/2 ≥ ab
要证 (a²+b²)/2 ≥ ab，只需证 a²+b² ≥ 2ab，即 a²−2ab+b² ≥ 0，即 (a−b)² ≥ 0，成立。
∴ (a²+b²)/2 ≥ ab 成立。
分析法 · 选择题
分析法是从____出发，反向寻找____的证明方法。
3. 综合法 逻辑推理
什么时候用：条件明确、结构清晰时，从已知条件出发逐步推导出结论。
怎么用：已知 A → 推出 B → 推出 C → … → 推出结论。
怎么用：已知 A → 推出 B → 推出 C → … → 推出结论。
例1：已知 a > 0, b > 0，求证 (a+b)/2 ≥ √(ab)
由 (√a − √b)² ≥ 0 → a + b − 2√(ab) ≥ 0 → a + b ≥ 2√(ab) → (a+b)/2 ≥ √(ab)。
∴ 均值不等式成立。
例2：已知 x = 2，求 x² − 4x + 3 的值
由 x = 2，直接代入：x² − 4x + 3 = 2² − 4×2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1。
值为 −1。
例3：已知 a + b = 5, ab = 6，求 a² + b²
由公式 a²+b² = (a+b)² − 2ab = 5² − 2×6 = 25 − 12 = 13。
a² + b² = 13。
例4：若等差数列 aₙ 中 a₁=2, d=3，求 S₁₀
Sₙ = n[2a₁+(n−1)d]/2 = 10[4 + 9×3]/2 = 10×31/2 = 155。
S₁₀ = 155。
例5：已知 sinθ = 3/5, θ∈(0,π/2)，求 cosθ
由 sin²θ + cos²θ = 1 → cos²θ = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25 → cosθ = 4/5（θ 在第一象限，取正）。
cosθ = 4/5。
综合法 · 选择题
综合法和分析法的主要区别是：
4. 比较法 逻辑推理
什么时候用：判断两个数或代数式的大小关系。
怎么用：作差法：a−b > 0 ⇔ a > b；作商法：a/b > 1（b>0）⇔ a > b。
怎么用：作差法：a−b > 0 ⇔ a > b；作商法：a/b > 1（b>0）⇔ a > b。
例1：比较 2√3 和 3√2 的大小
作差：2√3 − 3√2 = √12 − √18。√12 < √18，故 2√3 − 3√2 < 0。
∴ 2√3 < 3√2。
例2：比较 a² + 1 与 2a 的大小
作差：a² + 1 − 2a = (a−1)² ≥ 0，当 a=1 时取等。
∴ a² + 1 ≥ 2a。
例3：比较 log₂3 和 log₃2 的大小
log₂3 > log₂2 = 1，log₃2 < log₃3 = 1，作差：log₂3 − 1 > 0，1 − log₃2 > 0。
∴ log₂3 > 1 > log₃2。
例4：比较 3⁴ 和 4³ 的大小
作商：(3⁴)/(4³) = 81/64 > 1。
∴ 3⁴ > 4³。
例5：当 x > 0 时，比较 x+1/x 与 2 的大小
作差：x + 1/x − 2 = (x² − 2x + 1)/x = (x−1)²/x ≥ 0（x>0）。
∴ x + 1/x ≥ 2。
比较法 · 选择题
用作商法比较 a 和 b 的大小，并依据 a/b 与 1 的大小直接作出判断，最基本的前提是：
5. 放缩法 逻辑推理
什么时候用：不等式证明或求值范围时，通过放大或缩小某一边来简化问题。
怎么用：将式子中的某项放大或缩小（如丢弃正项、用更大/更小的值替换），再比较大小。
怎么用：将式子中的某项放大或缩小（如丢弃正项、用更大/更小的值替换），再比较大小。
例1：证明 1/1² + 1/2² + … + 1/n² < 2
n=1 时结论显然。n≥2 时，对 k≥2 有 1/k² < 1/[k(k−1)] = 1/(k−1) − 1/k。因此原式 < 1 + (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+[1/(n−1)−1/n] = 2 − 1/n < 2。
∴ 和总小于 2。
例2：证明 √(n²+1) < n + 1/(2n)（n∈N⁺）
两边都为正，可平方比较：(n+1/(2n))² − (n²+1) = 1/(4n²) > 0。因此右边严格大于左边。
∴ 不等式成立。
例3：求 √(17) 的整数部分
4²=16 < 17 < 5²=25，所以 4 < √17 < 5。
∴ √17 的整数部分为 4。
例4：证明 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ < 1（n∈N⁺）
把有限和放大为对应的无限等比级数：1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ < 1/2 + 1/4 + … = (1/2)/(1−1/2) = 1。
∴ 对任意正整数 n，原有限和小于 1。
例5：证明 1/√1 + 1/√2 + … + 1/√n > √n（n≥2）
k≥2 时，1/√k > 1/[√k + √(k−1)] = √k − √(k−1)。首项 1=√1−0，其余各项严格放缩后相加，得到原式 > (√1−0)+(√2−√1)+…+[√n−√(n−1)] = √n。
∴ 不等式成立。
放缩法 · 选择题
用放缩法证明不等式时，若需要证明 A < B，通常应将 A：
6. 数学归纳法 逻辑推理
什么时候用：证明与自然数 n 有关的命题。
怎么用：①验证 n=1（或起始值）成立；②假设 n=k 成立，证明 n=k+1 也成立；③由①②得对所有自然数都成立。
怎么用：①验证 n=1（或起始值）成立；②假设 n=k 成立，证明 n=k+1 也成立；③由①②得对所有自然数都成立。
例1：证明 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
n=1：左=1，右=1×2/2=1 ✓。假设 n=k 成立，n=k+1 时：1+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2 ✓。
∴ 公式对所有自然数成立。
例2：证明 1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6
n=1：左=1，右=1×2×3/6=1 ✓。假设 n=k 成立，n=k+1：左 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 ✓。
∴ 平方和公式成立。
例3：证明 2ⁿ > n（n∈N⁺）
n=1：2¹=2 > 1 ✓。假设 2ᵏ > k，则 2ᵏ⁺¹ = 2·2ᵏ > 2k = k + k ≥ k + 1（k≥1）。
∴ 2ⁿ > n 对所有自然数成立。
例4：证明 n! ≥ 2ⁿ⁻¹（n∈N⁺）
n=1：1! = 1 = 2⁰ ✓。假设 k! ≥ 2ᵏ⁻¹，则 (k+1)! = (k+1)·k! ≥ 2·2ᵏ⁻¹ = 2ᵏ（k≥1）。
∴ n! ≥ 2ⁿ⁻¹ 成立。
例5：证明 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n²
n=1：1=1² ✓。假设 n=k 时 1+3+…+(2k−1)=k²，则 n=k+1：k² + (2k+1) = (k+1)² ✓。
∴ 前 n 个奇数之和为 n²。
数学归纳法 · 选择题
数学归纳法的两个步骤缺一不可。如果只验证了 n=1 成立但没有归纳递推，会犯什么错误？
7. 同一法 逻辑推理
什么时候用：要证明某个对象具有某种性质或唯一性时，构造一个具有该性质的对象，然后证明它就是原对象。
怎么用：①构造满足结论的对象；②证明该对象就是原对象（同一性）。
怎么用：①构造满足结论的对象；②证明该对象就是原对象（同一性）。
例1：证明线段的中点是唯一的
设 AB 上有两个中点 M 和 N，则 AM = MB = AB/2，AN = NB = AB/2 → AM = AN → M 和 N 重合。
∴ 中点唯一。
例2：证明过直线外一点有且只有一条垂线
假设有两垂线 l₁, l₂ 都过 P 且垂直于直线 L，则 l₁∥l₂（垂直于同一直线），但二者都过 P → 重合。
∴ 垂线唯一。
例3：证明若 x² = y² 且 x, y > 0，则 x = y
由 x² = y² 得 x² − y² = 0 → (x−y)(x+y) = 0。x+y > 0，故 x−y = 0 → x = y。
∴ x = y。
例4：证明等差数列中若 aₘ = A, aₙ = A，则数列是常数列
设公差为 d，aₙ = aₘ + (n−m)d。由 aₙ = aₘ 得 (n−m)d = 0，m≠n ∴ d=0，数列为常数列。
∴ 公差为 0，数列为常数列。
例5：证明三角形的外心唯一
三角形三边中垂线交于一点 O，该点到三顶点距离相等。若有另一个 O' 也到三顶点等距，则 O' 也在各边中垂线上 → O' 与 O 重合。
∴ 外心唯一。
同一法 · 选择题
同一法常用于证明：
第一类综合题 · 逻辑推理
综合应用反证法、分析法、综合法等逻辑推理方法
综合题 1/3
要证明"√(ab) ≤ (a+b)/2（a, b > 0）"，以下哪种证明思路使用的是分析法？
第二类 · 代数变形方法
8. 待定系数法 代数变形
什么时候用：已知结果的形式，但系数未知时。
怎么用：设出含有待定系数的表达式，根据恒等条件列出方程组，解出系数。
怎么用：设出含有待定系数的表达式，根据恒等条件列出方程组，解出系数。
例1：因式分解 x² − 5x + 6
设 x² − 5x + 6 = (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab。比较系数：a+b = −5, ab = 6 → a=−2, b=−3。
∴ x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3)。
例2：把 x² + 2x + 3 配成 (x + a)² + b
设 (x + a)² + b = x² + 2ax + a² + b。比较系数：2a=2 → a=1；a²+b=3 → b=2。
∴ x² + 2x + 3 = (x+1)² + 2。
例3：求过 (0,1), (1,3), (2,7) 的二次函数
设 f(x)=ax²+bx+c。代入：c=1；a+b+1=3 → a+b=2；4a+2b+1=7 → 2a+b=3。解得 a=1, b=1, c=1。
∴ f(x) = x² + x + 1。
例4：将 1/(x²−1) 分解为部分分式
设 1/(x²−1) = A/(x−1) + B/(x+1)。通分：1 = A(x+1)+B(x−1)。令 x=1：1=2A→A=1/2；令 x=−1：1=−2B→B=−1/2。
∴ 1/(x²−1) = 1/[2(x−1)] − 1/[2(x+1)]。
例5：已知二次式 f(x)=x²+px+q，f(1)=0, f(2)=3，求 p, q
f(1)=1+p+q=0 → p+q=−1；f(2)=4+2p+q=3 → 2p+q=−1。相减得 p=0，代入得 q=−1。
∴ p=0, q=−1，f(x)=x²−1。
待定系数法 · 选择题
用待定系数法分解 x² − 3x + 2，设其为 (x + a)(x + b)，则 a, b 满足：
9. 换元法 代数变形
什么时候用：式子结构复杂或存在重复模式时，引入新变量简化。
怎么用：设 t = g(x)，将原式化为关于 t 的简单形式，解出 t 后再代回求 x。
怎么用：设 t = g(x)，将原式化为关于 t 的简单形式，解出 t 后再代回求 x。
例1：解方程 (x² − x)² − 4(x² − x) + 3 = 0
设 t = x² − x，则原式 = t² − 4t + 3 = 0 → (t−1)(t−3)=0 → t=1 或 t=3。x²−x=1 → x=(1±√5)/2；x²−x=3 → x=(1±√13)/2。
∴ 共 4 个解。
例2：解方程 x⁴ − 5x² + 4 = 0
设 t=x²（t≥0），原方程化为 t²−5t+4=0，即 (t−1)(t−4)=0，所以 t=1 或 t=4。代回得 x²=1 或 x²=4。
∴ x = ±1 或 x = ±2。
例3：解方程 2sin²x + 3sinx + 1 = 0
设 t = sinx，|t|≤1，则 2t² + 3t + 1 = 0 → (2t+1)(t+1)=0 → t=−1/2 或 t=−1。sinx=−1/2 → x=−π/6+2kπ 或 −5π/6+2kπ；sinx=−1 → x=−π/2+2kπ。
∴ x = −π/6+2kπ, −5π/6+2kπ, −π/2+2kπ。
例4：求函数 y = 2x + √(1−x²) 的值域
设 x = sinθ，θ∈[−π/2, π/2]，则 √(1−x²)=cosθ≥0，y=2sinθ+cosθ。最大值 √5 可在区间内取得；最小值出现在 θ=−π/2，此时 y=−2。
∴ 值域为 [−2, √5]。
例5：解方程 √(x+5) + √(x−3) = 4
设 t = √(x+5)，则 x = t²−5，√(x−3) = √(t²−8)。原式：t + √(t²−8) = 4 → √(t²−8) = 4−t → 平方得 t²−8 = 16−8t+t² → 8t=24 → t=3 → x=4。
∴ x = 4。
换元法 · 选择题
解方程 (x² + 1)² − 2(x² + 1) − 3 = 0，最自然的换元是：
10. 配方法 代数变形
什么时候用：二次三项式、二次函数、二次方程的最值或配方化简。
怎么用：将 ax²+bx+c 配成 a(x + h)² + k 的形式。
怎么用：将 ax²+bx+c 配成 a(x + h)² + k 的形式。
例1：配方 x² − 6x + 11
x² − 6x + 11 = (x² − 6x + 9) + 2 = (x−3)² + 2。
顶点 (3, 2)，最小值为 2。
例2：配方 −2x² + 8x − 5
−2x² + 8x − 5 = −2(x² − 4x) −5 = −2(x² − 4x + 4) −5 + 8 = −2(x−2)² + 3。
顶点 (2, 3)，最大值为 3。
例3：求 x² + y² − 2x + 4y + 6 的最小值
原式 = (x²−2x+1) + (y²+4y+4) + 1 = (x−1)² + (y+2)² + 1 ≥ 1。
最小值为 1（x=1, y=−2 时）。
例4：解方程 3x² − 6x + 1 = 0
3(x² − 2x) + 1 = 0 → 3(x−1)² − 3 + 1 = 0 → 3(x−1)² = 2 → (x−1)² = 2/3 → x = 1 ± √(2/3)。
∴ x = 1 ± √6/3。
例5：分解因式 x⁴ + 4
x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 − 4x² = (x²+2)² − (2x)² = (x²+2x+2)(x²−2x+2)。
∴ 分组后配方再平方差分解。
配方法 · 选择题
将 x² + 5x − 1 配方后结果是：
11. 构造法 代数变形
什么时候用：直接解题困难时，构造辅助函数、方程、图形或数列来间接解决问题。
怎么用：根据问题特点构造新对象，将原问题转化为对新对象的分析。
怎么用：根据问题特点构造新对象，将原问题转化为对新对象的分析。
例1：构造完全平方式求最值
已知正实数 x+y=6，求 xy 的最大值。构造非负式 (x−y)²≥0，展开得 (x+y)²−4xy≥0，所以 36−4xy≥0。
∴ xy≤9，当 x=y=3 时取等号。
例2：构造方程求值
已知 a + 1/a = 3，求 a² + 1/a²。构造 t = a + 1/a = 3，a²+1/a² = (a+1/a)² − 2 = 9 − 2 = 7。
a² + 1/a² = 7。
例3：构造几何图形
求 √(x²+1) + √((x−3)²+4) 的最小值。构造点 A(0,1)、B(3,2)，则原式为 x 轴上点 P(x,0) 到 A、B 的距离和。作 B 关于 x 轴的对称点 B'(3,−2)，则 PA+PB = PA+PB' ≥ AB' = √(3²+3²) = 3√2，当 P 为 AB' 与 x 轴交点（x=1）时取等。
最小值为 3√2。
例4：构造数列求通项
已知 a₁=1, aₙ₊₁=2aₙ+1。构造 bₙ=aₙ+1，则 bₙ₊₁=aₙ₊₁+1=2aₙ+2=2bₙ，b₁=2，bₙ=2ⁿ，aₙ=2ⁿ−1。
aₙ = 2ⁿ − 1。
例5：构造完全平方式
证 a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca。作差配方：a²+b²+c²−ab−bc−ca = 1/2[(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²] ≥ 0。把待证式配凑成三个完全平方式之和（构造法思想），结论显然。
∴ 不等式成立。
构造法 · 选择题
已知 a₁=2, aₙ₊₁=3aₙ+2，构造新数列 bₙ=aₙ+1，则 bₙ 是：
12. 消元法 代数变形
什么时候用：方程组或多个变量的问题中，通过消去部分变量减少未知数。
怎么用：加减消元、代入消元、或利用恒等式消去某些变量。
怎么用：加减消元、代入消元、或利用恒等式消去某些变量。
例1：解方程组 x+y=5, x−y=1
两式相加：2x=6 → x=3；代入 x+y=5 → y=2。
∴ (x, y) = (3, 2)。
例2：解方程组 x²+y²=25, x+y=7
由 x+y=7 → y=7−x，代入：x²+(7−x)²=25 → 2x²−14x+24=0 → x²−7x+12=0 → x=3 或 x=4。对应 y=4 或 y=3。
∴ (3,4) 或 (4,3)。
例3：消去参数 t
参数方程 x = t+1, y = t²−2t。由 x=t+1 → t=x−1，代入：y=(x−1)²−2(x−1) = x²−4x+3。
普通方程：y = x² − 4x + 3。
例4：解三元一次方程组
x+y+z=6, x−y+z=4, x+y−z=2。①+②消 y：2x+2z=10 → x+z=5；②+③：2x=6 → x=3；代入 x+z=5 → z=2；代入①：3+y+2=6 → y=1。∴(3,1,2)。
∴ (x, y, z) = (3, 1, 2)。
例5：消元求取值范围
已知 x+y=1，求 x²+y² 最小值。消去 y：x²+(1−x)² = 2x²−2x+1 = 2(x−1/2)² + 1/2 ≥ 1/2。
∴ x²+y² ≥ 1/2。
消元法 · 选择题
解方程组 2x+3y=7, 4x−y=1，第一步最方便的方法是：
13. 赋值法 代数变形
什么时候用：利用已知恒等式求参数、求展开式系数和、发现规律或初步检验猜想时。
怎么用：选取方便计算的特殊值（如 0, 1, −1 等）代入；注意少量特殊值只能检验猜想，不能单独证明恒等式。
怎么用：选取方便计算的特殊值（如 0, 1, −1 等）代入；注意少量特殊值只能检验猜想，不能单独证明恒等式。
例1：求 (1+x)ⁿ 展开式系数和
令 x=1，得 (1+1)ⁿ = 2ⁿ，即所有系数之和为 2ⁿ。
系数和 = 2ⁿ。
例2：求 (1+x)ⁿ 奇数项系数和
令 x=1 得所有系数和 = 2ⁿ；令 x=−1 得 0 = 偶数项 − 奇数项。两式相加得奇数项 × 2 = 2ⁿ → 奇数项系数和 = 2ⁿ⁻¹。
奇数项系数和 = 2ⁿ⁻¹。
例3：已知恒等式 x²+px+q=(x−1)(x+2)，求 p、q
令 x=0，得 q=(−1)×2=−2；再令 x=1，得 1+p+q=0，代入 q=−2 得 p=1。这里“恒等式”已由题设保证，赋特殊值可以求待定系数。
∴ p=1，q=−2。
例4：求二次函数 f(x) 满足 f(0)=1, f(1)=3, f(−1)=3
设 f(x)=ax²+bx+c。f(0)=c=1；f(1)=a+b+1=3 → a+b=2；f(−1)=a−b+1=3 → a−b=2。解得 a=2, b=0。
∴ f(x) = 2x² + 1。
例5：求 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) 的函数值
令 x=1, y=0：f(1)=f(1)+f(0) → f(0)=0。令 x=1, y=1：f(2)=2f(1)。赋值法探索线性函数性质。
f(0)=0, f(2)=2f(1)。
赋值法 · 选择题
若 (1+ax)⁵ 展开式中 x³ 的系数为 80，赋值法无法直接求解，应该用：
14. 分离参数法 代数变形
什么时候用：含参数的方程或不等式问题，需要研究参数对解的影响。
怎么用：把参数与变量分开，使等式/不等式变为 f(x) < g(a) 的形式。
怎么用：把参数与变量分开，使等式/不等式变为 f(x) < g(a) 的形式。
例1：对任意 x∈[1, 3]，x²−2x+m > 0 恒成立，求 m 范围
分离参数：m > −x²+2x = −(x−1)²+1。x∈[1,3] 时，−(x−1)²+1 最大值为 1（x=1），最小值为 −3（x=3）。m > 1。
∴ m > 1。
例2：方程 x² − 2x = a 在 [0, 2] 上有解，求 a 范围
分离：a = x² − 2x = (x−1)² − 1。x∈[0,2] 时，a∈[−1, 0]。
∴ a ∈ [−1, 0]。
例3：不等式 x² + ax + 1 > 0 对 x∈R 恒成立
分离参数法不直接适用（x² 项无参数）。用判别式：Δ = a² − 4 < 0 → a∈(−2, 2)。
∴ a ∈ (−2, 2)。
例4：f(x)=x²−ax+1 在 [1, +∞) 递增，求 a 范围
对称轴 x = a/2 ≤ 1 → a ≤ 2。直接由二次函数性质得。
∴ a ≤ 2。
例5：方程 √(x+1) = 2x + a 有正根，求 a 范围
分离：a = √(x+1) − 2x（x > 0）。令 t=√(x+1)，x=t²−1，a = t − 2(t²−1) = −2t²+t+2。t > 1 时，a 递减，a ∈ (−∞, 1)。
∴ a < 1。
分离参数法 · 选择题
分离参数法的核心思想是：
15. 累加法 代数变形
什么时候用：递推关系形如 aₙ₊₁ − aₙ = f(n) 时，求通项公式。
怎么用：写出 a₂−a₁, a₃−a₂, …, aₙ−aₙ₋₁ 共 n−1 个等式，左右分别相加，消去中间项。
怎么用：写出 a₂−a₁, a₃−a₂, …, aₙ−aₙ₋₁ 共 n−1 个等式，左右分别相加，消去中间项。
例1：a₁=1, aₙ₊₁−aₙ=2，求 aₙ
aₙ = a₁ + (a₂−a₁) + (a₃−a₂) + … + (aₙ−aₙ₋₁) = 1 + 2 + 2 + … + 2 = 1 + 2(n−1) = 2n−1。
∴ aₙ = 2n−1（等差数列）。
例2：a₁=1, aₙ₊₁−aₙ=2n，求 aₙ
aₙ = 1 + 2×1 + 2×2 + … + 2×(n−1) = 1 + 2[1+2+…+(n−1)] = 1 + 2·(n−1)n/2 = n²−n+1。
∴ aₙ = n² − n + 1。
例3：a₁=2, aₙ₊₁−aₙ=3ⁿ，求 aₙ
aₙ = 2 + 3¹ + 3² + … + 3ⁿ⁻¹ = 2 + 3(3ⁿ⁻¹−1)/(3−1) = 2 + (3ⁿ−3)/2 = (3ⁿ+1)/2。
∴ aₙ = (3ⁿ + 1)/2。
例4：a₁=0, aₙ₊₁−aₙ=1/(n(n+1))，求 aₙ
aₙ = Σ(1/k − 1/(k+1))（k=1 到 n−1）= 1 − 1/n = (n−1)/n。
∴ aₙ = (n−1)/n。
例5：数列前 n 项和 Sₙ= n²，求 aₙ
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = n² − (n−1)² = 2n−1（n≥2）。a₁=S₁=1，也满足。
∴ aₙ = 2n−1。
累加法 · 选择题
已知 a₁=1, aₙ₊₁−aₙ=3（常数），则 aₙ =
16. 累乘法 代数变形
什么时候用：递推关系形如 aₙ₊₁/aₙ = f(n) 时，求通项公式。
怎么用：写出 a₂/a₁, a₃/a₂, …, aₙ/aₙ₋₁ 共 n−1 个比值，左右分别相乘。
怎么用：写出 a₂/a₁, a₃/a₂, …, aₙ/aₙ₋₁ 共 n−1 个比值，左右分别相乘。
例1：a₁=2, aₙ₊₁/aₙ=3，求 aₙ
aₙ = a₁ × (a₂/a₁) × (a₃/a₂) × … × (aₙ/aₙ₋₁) = 2 × 3ⁿ⁻¹。
∴ aₙ = 2·3ⁿ⁻¹（等比数列）。
例2：a₁=1, aₙ₊₁/aₙ=n/(n+1)，求 aₙ
aₙ = 1 × (1/2) × (2/3) × (3/4) × … × ((n−1)/n) = 1/n。
∴ aₙ = 1/n。
例3：a₁=1, aₙ₊₁=2ⁿ·aₙ，求 aₙ
aₙ = 1 × 2¹ × 2² × … × 2ⁿ⁻¹ = 2^(1+2+…+(n−1)) = 2^(n(n−1)/2)。
∴ aₙ = 2^(n(n−1)/2)。
例4：a₁=2, aₙ₊₁/aₙ=(n+1)/n，求 aₙ
aₙ = 2 × (2/1) × (3/2) × … × (n/(n−1)) = 2n。
∴ aₙ = 2n。
例5：a₁=3, aₙ₊₁=naₙ，求 aₙ
aₙ = 3 × 1 × 2 × 3 × … × (n−1) = 3·(n−1)!。
∴ aₙ = 3·(n−1)!。
累乘法 · 选择题
已知 a₁=5, aₙ₊₁/aₙ=2，则 a₆ =
17. 迭代法 代数变形
什么时候用：递推关系复杂或需要近似解时，通过反复代入递推公式逼近目标。
怎么用：由 aₙ 反复代入递推式 aₙ = f(aₙ₋₁)，直到出现 a₁，或通过反复计算逼近方程根。
怎么用：由 aₙ 反复代入递推式 aₙ = f(aₙ₋₁)，直到出现 a₁，或通过反复计算逼近方程根。
例1：求方程 x²=2 的正根（牛顿迭代）
取 x₀=1.5，xₙ₊₁ = (xₙ + 2/xₙ)/2。x₁=1.4167，x₂=1.4142，x₃=1.4142（已收敛到 √2）。
√2 ≈ 1.41421356。
例2：a₁=1, aₙ₊₁=2aₙ+1，迭代求 a₃
a₁=1 → a₂=2×1+1=3 → a₃=2×3+1=7 → a₄=2×7+1=15。
a₃=7，a₄=15。
例3：求 √3 的近似值（迭代）
取 x₀=2，xₙ₊₁ = (xₙ + 3/xₙ)/2。x₁=1.75，x₂=1.7321，x₃=1.73205。
√3 ≈ 1.73205。
例4：aₙ₊₁=√(aₙ+2)，a₁=1，求极限
迭代前几项：a₁=1, a₂=√3≈1.732, a₃=√(1.732+2)≈1.931, a₄≈1.983, a₅≈1.996。极限 L=2。
极限为 2。
例5：用迭代逼近方程 x²−x−1=0 的正根
方程可化为 x=1+1/x。取 x₀=1，按 xₙ₊₁=1+1/xₙ 计算：x₁=2，x₂=1.5，x₃≈1.6667，x₄=1.6，x₅=1.625，数值逐步稳定在约 1.618。
正根约为 1.618；这里只展示数值逼近，严格收敛性需另行证明。
迭代法 · 选择题
取 x₀=2，按 xₙ₊₁=xₙ/2 + 1/xₙ 迭代求 √2，第 2 次迭代结果 x₂ 最接近：