概率

从具体问题出发，理解概率——它是描述不确定性的数学语言，帮我们在随机世界中做出合理判断。

一、随机事件与概率

先看一个问题

问题：掷一颗均匀的骰子，会出现哪些结果？每一面朝上的可能性有多大？

观察：骰子有 6 个面，分别标有 1、2、3、4、5、6。掷一次，只会出现其中一面朝上。

我们无法提前预知具体是哪一面——这就是随机现象。

但我们可以说：每一面朝上的"可能性"都是 1/6。这个"可能性"的数学度量就是概率。

基本概念

从掷骰子出发，我们引入三个基本概念：

样本空间 Ω：一个随机试验所有可能结果的集合。掷一颗骰子，Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，共 6 个样本点。

随机事件 A：样本空间的一个子集。"点数为偶数"对应 A = {2, 4, 6}。

概率 P(A)：事件 A 发生的可能性大小的数值度量，取值范围 [0, 1]。

频率与概率——大数定律的思想

概率到底是怎么确定的？我们做一个实验：抛一枚均匀硬币，记录正面朝上的频率。

模拟抛硬币：点击下方按钮，模拟抛硬币。观察随着抛掷次数增加，正面频率的变化。

点击按钮开始模拟

正面频率：

0.00

理论概率：

0.50

大数定律的思想：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在它的概率附近。这就是为什么我们可以用频率来估计概率——抛硬币次数越多，正面频率越接近 0.5。

频率 vs 概率：

频率 = 事件发生的次数 / 总试验次数（是一个实际值，随试验变化）

概率 = 在给定随机模型下对事件可能性大小的度量（同一模型下是确定的理论值）

大数定律告诉我们：随着独立重复试验次数 n 增大，频率有稳定在概率附近的趋势，但不保证每增加一次试验都更接近概率。

概念掷一颗均匀的骰子，事件 A = "点数大于 4"，则 A 包含几个样本点？

A. 1 个（5）

B. 2 个（5, 6）

C. 3 个（4, 5, 6）

D. 4 个（3, 4, 5, 6）

解析：点数大于 4，即点数为 5 或 6，共 2 个样本点。选 B。

概念关于频率和概率，以下哪个说法是正确的？

A. 频率就是概率

B. 抛 10 次硬币正面出现 6 次，说明正面概率是 0.6

C. 独立重复试验次数很大时，频率有稳定在概率附近的趋势

D. 概率会随着试验次数变化

解析：频率随试验变化，概率由给定模型确定。大数定律说明独立重复试验次数很大时，频率有稳定在概率附近的趋势，并不表示它会逐次单调靠近概率。选 C。

二、古典概型

先看一个问题

问题：掷一颗均匀的骰子，点数为偶数的概率是多少？

分析：

样本空间 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，共 6 个可能结果。

每个结果出现的可能性相同（骰子是均匀的）。

事件 A = "点数为偶数" = {2, 4, 6}，包含 3 个结果。

所以 P(A) = 3/6 = 1/2。

引出古典概型

上面的问题有两个重要特征：

有限性：样本空间中只有有限个可能结果
等可能性：每个结果出现的可能性相同

满足这两个条件的概率模型叫做古典概型（Classical Probability Model）。

古典概型：如果随机试验满足：

（1）样本空间 Ω 包含有限个样本点；

（2）每个样本点发生的可能性相等。

则事件 A 的概率为：

P(A) = |A| / |Ω| = A 包含的样本点个数 / 样本空间总样本点个数

关键：古典概型的核心就是"数数"——数清楚总共有多少种等可能的结果，以及事件包含多少种结果。计数工具（排列组合）就是干这个用的。

三、几何概型

先看一个问题

问题：在 1 米长的线段上随机取一个点，求这个点落在线段前 30 厘米（即 [0, 0.3] 区间内）的概率。

思考：线段上的点有无穷多个，没法用"个数"来计数了！古典概型失效。

但我们可以用长度来衡量——"取到某区域内的点"的概率，等于该区域长度与总长度的比值。

P = 0.3 / 1 = 0.3。

引出几何概型

当样本空间是线段、平面区域或空间区域，并且随机点相对于长度、面积或体积均匀分布时，可以建立几何概型（Geometric Probability Model）。连续模型中单个点的概率通常为 0，因此不能把“每个点等可能”理解成给每个点分配同一个正概率。

几何概型：如果随机试验的样本空间 Ω 是一个可度量的几何区域（长度、面积、体积等），且样本点均匀分布（等可能），则事件 A 的概率为：

P(A) = 测度(A) / 测度(Ω)

其中"测度"可以是长度、面积或体积。

古典 vs 几何：古典概型对有限个等可能样本点数“个数”；几何概型对连续区域按均匀分布量“长度、面积或体积”。样本空间无限并不自动意味着几何概型，还必须说明相应的均匀分布模型。

四、条件概率与乘法公式

先看一个问题

问题：某班有 40 名学生，其中男生 24 人，女生 16 人。戴眼镜的有 12 人，其中男生戴眼镜的有 8 人。已知抽到一名男生，求他是戴眼镜的概率。

思考：题目说"已知抽到一名男生"，这意味着我们的范围缩小到了 24 名男生。在这 24 人中，有 8 人戴眼镜。

所以要求的概率 = 8/24 = 1/3。

这个概率就是在"已知是男生"这个条件下的概率，记作 P(B|A)，其中 A 表示"抽到男生"，B 表示"戴眼镜"。

引出条件概率公式

上面的计算可以写成：P(B|A) = 8/24 = (8/40) / (24/40) = P(A ∩ B) / P(A)。

条件概率：在事件 A 已发生的条件下，事件 B 发生的概率记为 P(B|A)，且

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) （其中 P(A) > 0）

直观理解：条件概率就是"缩小样本空间"——已知 A 发生了，那么新的样本空间就是 A，B 发生的可能性就是 A 和 B 同时发生的部分占 A 的比例。

乘法公式

由条件概率公式变形立即得到：

乘法公式：

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

即：两个事件同时发生的概率 = 第一个事件发生的概率 × 在第一个事件发生的条件下第二个事件发生的概率。

例：一个袋中有 5 个红球和 3 个白球，不放回地依次摸两个球。求第一个摸到红球且第二个也摸到红球的概率。

分析：

设 A = "第一次摸到红球"，B = "第二次摸到红球"。

P(A) = 5/8。

在第一次已摸到红球的条件下，袋中还剩 4 红 3 白，所以 P(B|A) = 4/7。

由乘法公式：P(A ∩ B) = (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14。

计算某班 60% 是女生，女生中 30% 戴眼镜。随机选一名女生，她戴眼镜的概率是多少？
（提示：这就是条件概率 P(戴眼镜|女生)）

A. 0.18

B. 0.30

C. 0.50

D. 0.60

解析：题目直接给出了"女生中 30% 戴眼镜"，即 P(戴眼镜|女生) = 30% = 0.30。选 B。注意这里不需要乘以 60%，因为"已知是女生"已经缩小了范围。

计算一个袋中有 4 个红球和 2 个白球，不放回地依次摸两个球。求两次都摸到红球的概率。

A. 4/9

B. 2/5

C. 1/3

D. 1/2

解析：P(第一次红) = 4/6 = 2/3。在第一次红条件下，剩 3 红 2 白，P(第二次红|第一次红) = 3/5。由乘法公式：P = (2/3) × (3/5) = 2/5 = 0.4。选 B。

五、离散型随机变量及其分布列

先看一个问题

问题：掷一颗骰子，出现的点数我们无法事先确定。但我们希望用一个变量来描述这个随机结果。

令 X = "掷骰子出现的点数"，则 X 可以取 1, 2, 3, 4, 5, 6 中的任意一个值，取每个值的概率都是 1/6。

X 就是一个随机变量——它的取值是随机的，但每个取值有确定的概率。

引出随机变量

随机变量：定义在样本空间上的实值函数，它把每个试验结果对应到一个实数。通常用大写字母 X, Y, Z 等表示。

离散型随机变量：取值可以一一列举（有限个或可数无限个）的随机变量。

掷骰子的点数 X 是离散型的（取值 1~6）；"掷到正面朝上所需次数"也是离散型的（可取 1, 2, 3, ...）。

分布列

要完整描述一个离散型随机变量，需要知道它取每个值的概率。这就是分布列。

分布列：设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x₁, x₂, ..., x_n，且 P(X = x_i) = p_i，则称

P(X = x_i) = p_i (i = 1, 2, ..., n)

为 X 的分布列。分布列满足：

（1）p_i ≥ 0 （2）p₁ + p₂ + ... + p_n = 1

为什么概率和要为 1？因为随机变量一定会取到某个值，所有可能取值的概率加起来就是"必然事件"的概率，即 1。

例（2 次投篮）：某篮球运动员投篮命中率为 0.6，独立投篮 2 次。设 X = "命中次数"，求 X 的分布列。

分析：X 的可能取值为 0, 1, 2。

P(X=0) = (1-0.6) × (1-0.6) = 0.4 × 0.4 = 0.16

P(X=1) = 0.6 × 0.4 + 0.4 × 0.6 = 0.48

P(X=2) = 0.6 × 0.6 = 0.36

检验：0.16 + 0.48 + 0.36 = 1 ✓

分布列为：

X	0	1	2
P	0.16	0.48	0.36

概念以下哪个量是离散型随机变量？

A. 某市一天的气温

B. 抛一枚硬币 3 次正面朝上的次数

C. 某人的身高

D. 公交车到站的时间

解析：离散型随机变量的取值可以一一列举。A、C、D 的取值是连续的（不可列），B 的取值只能是 0, 1, 2, 3（可列），所以选 B。

计算一个盒中有 3 个红球和 1 个白球，随机摸一个球。设 X = 0 表示摸到白球，X = 1 表示摸到红球。则 P(X=0) = ?

A. 3/4

B. 1/2

C. 1/4

D. 1

解析：总球数 4 个，白球 1 个。P(摸到白球) = P(X=0) = 1/4。选 C。

六、二项分布

先看一个问题

问题：抛一枚均匀硬币 5 次，恰好有 3 次正面朝上的概率是多少？

思考：每次抛硬币是独立的，正面概率 p = 0.5。

先想一个特定的序列：正正正反反，概率为 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.5⁵。

但"恰好 3 次正面"对应的序列不止一种——我们需要从 5 个位置中选 3 个放正面，共有 C(5,3) 种不同的序列。

所以 P = C(5,3) × 0.5³ × (1-0.5)² = 10 × 0.125 × 0.25 = 0.3125。

引出二项分布

上述问题就是典型的n 次独立重复试验（也叫伯努利试验），它具有以下特征：

每次试验只有两种结果：成功/失败（正面/反面、命中/未命中）
每次试验成功的概率 p 相同
各次试验相互独立

二项分布：在 n 次独立重复试验中，设每次成功的概率为 p，以 X 表示成功的次数，则 X 的分布列为：

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

其中 k = 0, 1, 2, ..., n

记作 X ~ B(n, p)，读作"X 服从参数为 n, p 的二项分布"。

公式理解：C(n,k) 负责"挑位置"——从 n 次试验中选出哪 k 次成功；p^k 是 k 次成功的概率；(1-p)^n-k 是其余 n-k 次失败的概率。

例（投篮命中率）：某球员投篮命中率 p = 0.7，独立投篮 4 次。求恰好命中 2 次的概率。

分析：X ~ B(4, 0.7)

P(X=2) = C(4,2) × 0.7² × (1-0.7)²

= 6 × 0.49 × 0.09 = 6 × 0.0441 = 0.2646

计算抛一枚均匀硬币 6 次，恰好有 4 次正面朝上的概率是多少？

A. C(6,4) × (1/2)⁴ × (1/2)²

B. (1/2)⁶

C. (1/2)⁴

D. C(6,4) × (1/2)⁴

解析：二项分布公式：P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^n-k。这里 p = 1/2，所以 P = C(6,4) × (1/2)⁴ × (1/2)² = C(6,4) × (1/2)⁶。选 A。

计算某射手打靶命中率为 0.8，独立射击 3 次。恰好命中 0 次的概率是？

A. 0.008

B. 0.512

C. 0.096

D. 0.384

解析：命中 0 次即全部不中。P = C(3,0) × 0.8⁰ × (1-0.8)³ = 1 × 1 × 0.2³ = 0.008。选 A。

七、均值和方差

先看一个问题

问题（赌博游戏）：一个游戏规则如下：掷一颗骰子，出现几点你就赢几元（比如掷出 3 点赢 3 元）。但每次参加需付 3.5 元。这个游戏公不公平？

思考：虽然每次结果不确定，但我们可以计算"平均"每局赢多少钱。

X = "每局赢的钱"，可能取值 1, 2, 3, 4, 5, 6，每个概率 1/6。

"平均"每局赢的钱 = 1×1/6 + 2×1/6 + 3×1/6 + 4×1/6 + 5×1/6 + 6×1/6 = 3.5 元。

付 3.5 元参加，平均赢回 3.5 元——这个游戏是公平的！

引出均值（数学期望）

均值（数学期望）：设离散型随机变量 X 的分布列为 P(X = x_i) = p_i，则

E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... + x_n·p_n = ∑ x_i · p_i

称为 X 的均值或数学期望，它反映随机变量取值的"平均水平"。

引出方差

均值告诉我们"平均是多少"，但没告诉我们"波动有多大"。两个随机变量可能有相同的均值，但一个稳定、一个波动很大。方差就是衡量波动大小的指标。

为什么方差用平方？考虑两个分布：

甲：总是得 5 元（稳定），乙：一半概率得 0 元、一半概率得 10 元（波动大）。

均值都是 5 元，但乙显然风险更大。

如果用 |X - E(X)| 的平均值来度量波动，甲为 0，乙为 5。

但绝对值数学上不好处理，所以用平方——放大偏离，且可导。

方差：

D(X) = ∑ (x_i − E(X))² · p_i

方差越大，说明 X 的取值越分散（波动越大）。

标准差 σ(X) = √D(X)，与 X 的单位相同，更直观。

例：接上面的掷骰子游戏，X = 赢的钱。

E(X) = 3.5

D(X) = (1-3.5)²×1/6 + (2-3.5)²×1/6 + (3-3.5)²×1/6 + (4-3.5)²×1/6 + (5-3.5)²×1/6 + (6-3.5)²×1/6

= (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) / 6 = 17.5 / 6 ≈ 2.92

标准差 σ = √2.92 ≈ 1.71（元）

计算随机变量 X 的分布列为 P(X=0)=0.4, P(X=1)=0.6。求 E(X)。

A. 0.4

B. 0.5

C. 0.6

D. 1.0

解析：E(X) = 0 × 0.4 + 1 × 0.6 = 0.6。选 C。

计算接上题，X 的方差 D(X) 是多少？

A. 0.24

B. 0.60

C. 0.40

D. 0.16

解析：E(X)=0.6。D(X) = (0-0.6)²×0.4 + (1-0.6)²×0.6 = 0.36×0.4 + 0.16×0.6 = 0.144 + 0.096 = 0.24。选 A。

八、正态分布

先看一个问题

问题：随机测量一个班级 50 名同学的身高，你会发现大部分人的身高集中在某个值附近，特别高和特别矮的人都很少。如果画出身高的分布直方图，它大致呈现一个"钟形"。

这个钟形曲线就是正态分布的密度曲线——自然界和社会中大量现象都服从这种分布。

正态分布的特征

正态分布：如果随机变量 X 的概率密度函数为

f(x) = [1 / (σ√(2π))] · e^{−(x−μ)² / (2σ²)}，σ > 0

则称 X 服从正态分布，记作 X ~ N(μ, σ²)。

正态分布曲线具有以下特征：

钟形：中间高、两边低
对称：关于直线 x = μ 对称
μ 决定位置：μ 是均值，曲线中心就在 x = μ 处
σ 决定形状：σ 是标准差，σ 越大曲线越矮胖（数据分散），σ 越小曲线越高瘦（数据集中）

3σ 原则

对于正态分布 X ~ N(μ, σ²)，以下概率是固定的：

区间	概率	意义
(μ − σ, μ + σ)	约 68.27%	约 68% 的数据在 1 个标准差内
(μ − 2σ, μ + 2σ)	约 95.45%	约 95% 的数据在 2 个标准差内
(μ − 3σ, μ + 3σ)	约 99.73%	几乎全部数据在 3 个标准差内

3σ 原则的应用：在质量控制中，如果某个数据点超出 μ ± 3σ 的范围，说明这个数据极不寻常（概率不到 0.3%），可能是异常值或出现了问题。

例：某校学生身高 X ~ N(170, 36)（单位：cm），即 μ = 170，σ = 6。求身高在 158 cm 到 182 cm 之间的学生比例。

分析：158 = 170 − 12 = μ − 2σ，182 = 170 + 12 = μ + 2σ。

根据 3σ 原则，在 (μ − 2σ, μ + 2σ) 内的概率约为 95.45%。

概念对于正态分布 N(μ, σ²)，以下说法错误的是？

A. 曲线关于 x = μ 对称

B. σ 越大，曲线越"矮胖"

C. 数据在 (μ-3σ, μ+3σ) 内的概率约 95%

D. μ 决定曲线的中心位置

解析：3σ 原则中，(μ-3σ, μ+3σ) 内的概率约 99.73%，不是 95%。95% 对应的是 (μ-2σ, μ+2σ)。选 C。

计算某产品重量 X ~ N(500, 25)（单位：g），即 μ=500, σ=5。根据 3σ 原则，重量在 495g 到 505g 之间的产品约占多少？

A. 68.27%

B. 95.45%

C. 99.73%

D. 50%

解析：495 = 500-5 = μ-σ，505 = 500+5 = μ+σ。在 (μ-σ, μ+σ) 内的概率约 68.27%。选 A。

九、综合练习

以下 5 道综合题覆盖了本节全部知识点，动手试试吧！

得分：0 / 100

练习 1（10 分）

一个袋中有 5 个红球和 3 个白球，除颜色外完全相同。

(1) 随机摸 1 个球，摸到红球的概率是多少？（填分数，如 3/5）

(2) 不放回地依次摸 2 个球，两次都摸到红球的概率是多少？（填分数）

请回答 (1) 的答案：

请回答 (2) 的答案：

解析：
(1) 古典概型：总球数 8，红球 5，P = 5/8。
(2) 条件概率 + 乘法公式：P(第一次红) = 5/8，在第一次红的条件下剩 4 红 3 白，P(第二次红|第一次红) = 4/7。
P(两次都红) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14。

练习 2（10 分）

某篮球运动员罚球命中率为 0.6，独立罚球 3 次。设 X 为命中次数。

(1) X 服从什么分布？参数是什么？

(2) 求 P(X = 2)（精确到 0.001）。

(3) 求 E(X) 和 D(X)。

(1) X ~ B(n, p)，n = ，p =

(2) P(X=2) =

(3) E(X) = ，D(X) =

解析：
(1) X ~ B(3, 0.6)，即 n = 3, p = 0.6。
(2) P(X=2) = C(3,2) × 0.6² × 0.4¹ = 3 × 0.36 × 0.4 = 0.432。
(3) 二项分布均值公式 E(X) = np = 3 × 0.6 = 1.8。
二项分布方差公式 D(X) = np(1-p) = 3 × 0.6 × 0.4 = 0.72。

练习 3（10 分）

在区间 [0, 8] 上随机取一个实数 x。

(1) 该试验是什么概型？

(2) 求 x ≤ 3 的概率。

(3) 求 2 ≤ x ≤ 6 的概率。

(1) 概型：

(2) P(x ≤ 3) =

(3) P(2 ≤ x ≤ 6) =

解析：
(1) 样本空间 [0, 8] 有无穷多个点，是几何概型。
(2) P(x ≤ 3) = (3-0) / (8-0) = 3/8。
(3) P(2 ≤ x ≤ 6) = (6-2) / (8-0) = 4/8 = 1/2。

练习 4（10 分）

某射击运动员命中率为 0.7，独立射击 5 次。

(1) 求恰好命中 3 次的概率（精确到 0.001）。

(2) 求至少命中 1 次的概率（精确到 0.001）。

(1) P(X=3) =

(2) P(X ≥ 1) =

解析：
(1) X ~ B(5, 0.7)，P(X=3) = C(5,3) × 0.7³ × 0.3² = 10 × 0.343 × 0.09 = 0.309。
(2) P(X ≥ 1) = 1 − P(X=0) = 1 − C(5,0) × 0.7⁰ × 0.3⁵ = 1 − 0.3⁵ = 1 − 0.00243 = 0.998（精确到 0.001）。

练习 5（10 分）

某校学生数学竞赛成绩近似服从正态分布 N(75, 100)（μ=75, σ=10）。

(1) 成绩在 65 分到 85 分之间的学生大约占多少百分比？

(2) 成绩在 55 分到 95 分之间的学生大约占多少百分比？

(1) 百分比（填百分数，如 68.27%）：

(2) 百分比：

解析：
(1) 65 = 75 − 10 = μ − σ，85 = 75 + 10 = μ + σ。根据 3σ 原则，在 (μ−σ, μ+σ) 内的概率约 68.27%。
(2) 55 = 75 − 20 = μ − 2σ，95 = 75 + 20 = μ + 2σ。在 (μ−2σ, μ+2σ) 内的概率约 95.45%。

概率

一、随机事件与概率

先看一个问题

基本概念

频率与概率——大数定律的思想

二、古典概型

先看一个问题

引出古典概型

更多例子

三、几何概型

先看一个问题

引出几何概型

更多例子

四、条件概率与乘法公式

先看一个问题

引出条件概率公式

乘法公式

五、离散型随机变量及其分布列

先看一个问题

引出随机变量

分布列

六、二项分布

先看一个问题

引出二项分布

七、均值和方差

先看一个问题

引出均值（数学期望）

引出方差

八、正态分布

先看一个问题

正态分布的特征

3σ 原则

九、综合练习

练习 1（10 分）

练习 2（10 分）

练习 3（10 分）

练习 4（10 分）

练习 5（10 分）