勾股定理的几何证明
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
一、定理陈述
在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，三边分别为 a、b、c（c 为斜边），则有：
勾股定理是平面几何中最为著名的定理之一，拥有超过三百种不同的证明方法。下面介绍三种经典的几何证明。
二、证明一——赵爽弦图法
分步推导
已知：直角三角形 ABC，∠C = 90°，三边 a、b、c（c 为斜边）。
求证：a² + b² = c²
证明：
① 构造大正方形 ABCD，边长为 a+b。
② 在大正方形内拼入 4 个全等的直角三角形（直角边 a、b），
使斜边朝内，中间形成一个边长为 c 的正方形。
③ 计算大正方形的面积：S = (a+b)²。
④ 大正方形由 4 个三角形和内部以斜边 c 为边的正方形组成：
S = 4 × (ab/2) + c² = 2ab + c²。
⑤ ∴ (a+b)² = 2ab + c²，
a² + 2ab + b² = 2ab + c²，
∴ a² + b² = c²。
∴ 勾股定理成立。
三、证明二——加菲尔德梯形法
分步推导
已知：直角三角形两直角边为 a、b，斜边为 c。
求证：a² + b² = c²
证明：
① 在直线 AB 上依次排列两个直角三角形，
△DAC（直角于 A）和 △CBE（直角于 B），
其中 DA = b，AC = a，CB = b，BE = a。
② 连接 D、C、E，形成第三个三角形。
③ 四边形 D-A-B-E 是一个直角梯形，
上底 DA = b，下底 BE = a，高 AB = a+b。
梯形面积 S梯形 = (a+b)(a+b)/2 = (a+b)²/2。
④ 梯形由三个直角三角形组成：
S梯形 = S△DAC + S△CBE + S△DCE
= ab/2 + ab/2 + c²/2
= ab + c²/2。
⑤ ∴ (a+b)²/2 = ab + c²/2，
(a+b)² = 2ab + c²，
a² + 2ab + b² = 2ab + c²，
∴ a² + b² = c²。
∴ 勾股定理成立。
四、证明三——欧几里得《几何原本》证法
分步推导
已知：直角三角形 ABC，∠C = 90°，三边 a、b、c（c 为斜边）。
在三边上分别向三角形外部作正方形。
求证：a² + b² = c²
证明（思路）：
① 从直角顶点 C 向斜边 AB 作垂线，垂足为 M，并把 CM 延长到斜边上正方形的对边。
② 在 △ACM 与 △ABC 中，∠AMC=∠ACB=90°，且 ∠CAM=∠CAB，所以 △ACM∽△ABC。
由对应边成比例，AC/AB=AM/AC，故 AC²=AB·AM。
③ 同理，△BCM∽△BAC，所以 BC/BA=BM/BC，故 BC²=AB·BM。
④ AB·AM 与 AB·BM 分别是斜边正方形中两个矩形的面积；它们的和为
AB·AM+AB·BM=AB(AM+BM)=AB²。
⑤ 因而 AC²+BC²=AB²，即 a²+b²=c²。
∴ 勾股定理成立。
五、互动问答
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