sin(α ± β) 公式的几何证明
核心思想：用单位圆上的向量点积推导出余弦差公式，再通过诱导公式得到正弦的和差公式。
一、交互式演示
拖拽下方滑块调整 α 和 β 的角度，观察单位圆上各点的位置变化。
二、证明过程
第一步：在单位圆上标记关键点
考虑单位圆（半径为 1）。在圆上标记两个点：
- 点 P 在角度 α 处：P = (cos α, sin α)
- 点 Q 在角度 β 处：Q = (cos β, sin β)
第二步：向量 OP 与 OQ 的夹角
从原点到 P 和 Q 的向量分别为 OP 和 OQ。它们之间的小夹角记为 θ。当 |α−β|≤π 时，θ=|α−β|；当角度差更大时，θ=2π−|α−β|。两种情况下都有 cos θ = cos(α−β)。
∠(OP, OQ) = |α − β|
第三步：用点积求 cos(α − β)
两向量的点积有两种等价的计算方式：
(1) OP · OQ = |OP| · |OQ| · cos(α − β) = 1 × 1 × cos(α − β) = cos(α − β)
(2) OP · OQ = cos α · cos β + sin α · sin β
令两者相等，立即得到：
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
关键洞察：向量点积架起了"几何角度"与"坐标代数"之间的桥梁。左边是角度的余弦，右边是坐标的代数组合——这正是整个证明的起点。
第四步：推导 cos(α + β)
在上式中将 β 替换为 −β。因为 cos(−β) = cos β，sin(−β) = −sin β：
cos(α + β) = cos(α − (−β)) = cos α cos(−β) + sin α sin(−β)
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
第五步：利用诱导公式求 sin(α + β)
正弦可以写成余弦的平移：sin θ = cos(π/2 − θ)。所以：
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
第六步：由此推出 sin(α − β)
在 sin(α + β) 的公式中将 β 替换为 −β：
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
三、完整推导路线
只需记住"余弦差"一条公式，其余三条和差公式均可推导出来。
四、为什么这个证明是严格的？
- 向量点积既独立于三角函数公式——点积的几何定义 OP · OQ = |OP||OQ|cosθ 是欧氏几何的基本定理，可以从余弦定理证明，不依赖任何三角恒等式。
- 坐标表示——OP · OQ = x₁x₂ + y₁y₂ 来自代数定义，与几何定义一致。
- 因此，令两种表达相等得出 cos(α − β) 的公式是逻辑自洽的，不存在循环论证。
五、互动问答
点击选项提交答案，系统自动判分。