统计
从实际问题出发，理解"如何收集数据、分析数据、从数据中得出结论"——统计不是公式堆砌，而是从混乱中找规律的思维方式。
一、随机抽样
为什么要抽样？
假设你想知道全校 2000 名学生的平均身高，你会怎么做？如果挨个测量每一个人，工作量太大，而且有些同学可能当天不在学校。更现实的做法是：从全校学生中选出一部分人（一个样本）来测量，然后用样本的平均身高去估计全校的平均身高。
但这里有一个关键问题：怎么选"这一部分人"？如果只选篮球队员，估计值会偏高；如果只选田径队员，估计值也可能偏离总体。我们需要按预先设计的随机规则抽取样本，避免研究者凭主观挑选。这就是随机抽样的思想。
随机抽样：按照包含随机机制的规则从总体中抽取一部分个体作为样本。抽取规则必须事先明确，使入样概率可以说明；随机抽样能减少人为选择偏差，但不能保证某一次样本一定完全代表总体。
1. 简单随机抽样
这是最基本的抽样方法——从总体中逐个抽取，且每个个体被抽中的概率相同。抽签法适合总体较小的情形；使用随机数或计算机时，也可以处理较大的总体。
常用两种方式：
- 抽签法：把每个学生写在一张纸条上，放入箱子充分搅拌，然后随机抽取。简单直观，但总体很大时操作不便。
- 随机数表法：给每个学生编号（如 0001~2000），然后用随机数表（或计算机生成的随机数）选出一组编号。效率更高，避免人为偏差。
例：从 50 名同学中用抽签法选 5 人。
步骤 1：给 50 名同学每人写一张编号为 01~50 的纸条。
步骤 2：将所有纸条放入箱子，充分搅拌。
步骤 3：从中随机抽出 5 张纸条，对应的同学即为样本。
优点：操作简单，原理直观。缺点：人数太多时，搅拌不均匀可能导致偏差。
2. 系统抽样
当总体数量很大时，抽签法就不太方便了。系统抽样提供了一种更高效的替代方案。
例：从全校 2000 名学生中抽取 100 人。
步骤 1：将 2000 名学生按某种顺序编号（如学号 0001~2000）。
步骤 2：计算抽样间隔 k = 2000 ÷ 100 = 20。
步骤 3：在 1~20 中随机选一个起点，比如 7。
步骤 4：然后依次取编号为 7, 27, 47, 67, … 的学生，直到取满 100 人。
3. 分层抽样
如果全校学生中，高一、高二、高三的身高有显著差异，那么简单随机抽样可能会让某个年级的人数偏多或偏少。这时用分层抽样更好——先按年级分成"层"，再按比例从各层中抽取。
例：全校 2000 人中，高一 800 人、高二 600 人、高三 600 人。要抽 100 人了解身高情况。
按照各年级人数比例分配：
高一应抽：100 × (800 ÷ 2000) = 40 人
高二应抽：100 × (600 ÷ 2000) = 30 人
高三应抽：100 × (600 ÷ 2000) = 30 人
然后在各年级内部用简单随机抽样或系统抽样抽取相应人数。
简单随机抽样：每人均等，适合小总体
系统抽样：等间隔抽取，适合大总体、无规律
分层抽样：按比例分层，适合层内差异小、层间差异大
二、用样本估计总体
从数据到信息
我们通过抽样收集到了一批数据，比如 100 名学生的身高（单位：cm）：
数据：155, 158, 160, 162, 163, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 178
（以上为简化数据，实际样本通常会更大）
面对一堆数字，我们很难直接看出规律。需要用一些方法把它们整理成可视化的形式，再从中提取关键特征。
1. 频率分布直方图
将数据分成若干组（组），统计每组数据出现的次数（频数），然后计算频率（频数 ÷ 总数），用矩形的高度表示频率密度（频率 ÷ 组距）。
以 20 个身高数据为例：
确定组距为 5，分组为：[155,160), [160,165), [165,170), [170,175), [175,180)
| 分组 | 频数 | 频率 | 频率/组距 |
|---|---|---|---|
| [155, 160) | 2 | 0.10 | 0.020 |
| [160, 165) | 3 | 0.15 | 0.030 |
| [165, 170) | 7 | 0.35 | 0.070 |
| [170, 175) | 5 | 0.25 | 0.050 |
| [175, 180) | 3 | 0.15 | 0.030 |
直方图中，所有矩形面积之和 = 1（因为各组频率之和为 1）。
2. 样本数字特征
直方图给了我们直观的形状，但我们还需要一些数字来描述数据的集中趋势和离散程度。
均值（平均数）：所有数据之和 ÷ 数据个数。反映数据的"重心"。
x̄ = (x1 + x2 + … + xn) / n
中位数：将数据从小到大排列，位于中间位置的数。如果数据个数为偶数，取中间两个数的平均值。不受极端值影响。
众数：出现次数最多的数据。可能不止一个。
方差：各数据与均值之差的平方的平均值。反映数据的"波动程度"。
s2 = [(x1-x̄)2 + (x2-x̄)2 + … + (xn-x̄)2] / n
标准差：方差的正平方根 s，与原数据单位相同，更便于解释。
用上面的身高数据计算：
均值 x̄ = (155+158+160+162+163+165+165+166+167+168+168+169+170+170+171+172+173+174+175+178) ÷ 20
= 3349 ÷ 20 = 167.45 cm
中位数：第 10 个（168）和第 11 个（168）的平均数 = 168 cm
众数：165、168、170 都出现了 2 次（最多）→ 165, 168, 170
方差 s2 ≈ 32.75 cm2，标准差 s ≈ 5.72 cm
结论：样本平均身高为 167.45 cm，标准差约 5.72 cm，说明数据相对均值的典型偏离量约为 5.72 cm。仅凭均值和标准差，不能断定某个固定比例的数据必然落在 x̄ ± s 内。
方差 s2 = [(2-6)2+(4-6)2+(6-6)2+(8-6)2+(10-6)2] / 5
= [16+4+0+4+16] / 5 = 40/5 = 8。选 B。
三、回归分析
广告费越多，销售额越高吗？
假设某公司记录了 6 个月的广告投入和销售额数据：
| 广告费 x（万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 销售额 y（万元） | 12 | 15 | 18 | 20 | 24 | 28 |
直观上看，广告费越多，销售额似乎越高。但两者之间的关系有多强？能否用一个数学公式来描述这种关系？
1. 散点图
将每组 (x, y) 数据在坐标系中描点，得到散点图。如果这些点大致分布在一条直线附近，我们就说 x 与 y 存在线性相关关系。
2. 最小二乘法
我们希望找到一条直线 ŷ = a + bx，使得它"最好地"拟合这些点。怎么定义"最好"？
对于每个数据点 (xi, yi)，直线上的预测值是 ŷi = a + bxi，真实值与预测值的差 yi - ŷi 叫做残差。
最小二乘法的核心思想：找到 a 和 b，使得所有残差的平方和最小：
Q = ∑(yi - ŷi)2 = ∑(yi - a - bxi)2 取最小值
如果用 |yi-ŷi| 的求和，绝对值函数在零点不可导，数学上难以求解最小值。平方函数处处可导，可以通过求导得到唯一解。
而且平方放大了较大误差的影响，使得回归直线更"关注"偏离较大的点——这在大多数情况下是合理的。
通过数学推导（对 a 和 b 求偏导令其为零），得到：
线性回归方程 ŷ = a + bx
b = [∑(xi-x̄)(yi-ȳ)] / [∑(xi-x̄)2]
a = ȳ - b · x̄
其中 x̄ 是 x 的均值，ȳ 是 y 的均值
用上面的广告-销售额数据计算：
x̄ = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5, ȳ = (12+15+18+20+24+28)/6 = 19.5
分子 ∑(xi-x̄)(yi-ȳ) = (1-3.5)(12-19.5)+(2-3.5)(15-19.5)+…+(6-3.5)(28-19.5)
= (-2.5)(-7.5)+(-1.5)(-4.5)+(-0.5)(-1.5)+(0.5)(0.5)+(1.5)(4.5)+(2.5)(8.5)
= 18.75 + 6.75 + 0.75 + 0.25 + 6.75 + 21.25 = 54.5
分母 ∑(xi-x̄)2 = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5
b = 54.5 / 17.5 ≈ 3.11
a = 19.5 - 3.11 × 3.5 ≈ 19.5 - 10.89 = 8.61
回归方程：ŷ = 8.61 + 3.11x
含义：广告费每增加 1 万元，销售额平均增加约 3.11 万元。
注意：当 x = x̄（均值）时，ŷ = ȳ，这是回归直线的一个性质。
四、独立性检验
吸烟与肺癌有关吗？
在医学研究中，经常需要判断两个分类变量之间是否有关联。比如"吸烟"和"患肺癌"这两个变量——通过观察数据，我们能否说吸烟的人更容易患肺癌？
假设我们调查了 500 人，得到以下数据：
| 患肺癌 | 未患肺癌 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| 吸烟 | 40 | 160 | 200 |
| 不吸烟 | 10 | 290 | 300 |
| 合计 | 50 | 450 | 500 |
这个 2×2 的表格就是列联表。直观上看，吸烟组中患肺癌的比例是 40/200 = 20%，而不吸烟组只有 10/300 ≈ 3.3%，相差很大。但这是否具有统计显著性？即这种差异是不是偶然造成的？
卡方统计量的基本思想
独立性检验的思路是这样的：
- 第一步（假设）：先假设吸烟和肺癌没有关系（即相互独立）。这叫做原假设 H0。
- 第二步（计算期望）：如果 H0 成立，那么"吸烟且患肺癌"的人数应该是多少？
如果吸烟和肺癌无关，那么患肺癌的比例应该是总体比例 50/500 = 10%。
吸烟组（200 人）中，期望的患肺癌人数 = 200 × 10% = 20 人
同理可计算所有格子的"期望频数"：
| 患肺癌 | 未患肺癌 | |
|---|---|---|
| 吸烟 | 20 | 180 |
| 不吸烟 | 30 | 270 |
一般公式：期望频数 = (行合计 × 列合计) / 总计
例如吸烟&肺癌 = 200 × 50 / 500 = 20
- 第三步（计算卡方）：比较实际观测值 O 和期望值 E 的差异：
χ2 = ∑ (O - E)2 / E
其中 O 是实际观测频数，E 是期望频数，对 4 个格子求和
计算：
χ2 = (40-20)2/20 + (160-180)2/180 + (10-30)2/30 + (290-270)2/270
= 400/20 + 400/180 + 400/30 + 400/270
= 20 + 2.22 + 13.33 + 1.48 ≈ 37.03
- 第四步（判断）：χ2 值越大，说明观测值与期望值差异越大，原假设越不可靠。通常与临界值比较（自由度为 1 时，显著性水平 0.05 的临界值为 3.841）。
结论：这里 χ2 ≈ 37.03 > 3.841，所以拒绝原假设，认为吸烟与肺癌存在关联。
① 假设两个变量独立 → ② 计算期望频数 → ③ 比较实际与期望的差距（χ2）→ ④ 差距越大，越说明两者有关
这就像"如果你说骰子没问题，但我掷了 600 次发现每个面出现次数都远偏离 100 次，那你的假设就很可疑"。
五、综合练习
以下 5 道综合题覆盖了本节全部知识点，动手试试吧！
练习 1（10 分）
某地区有农村居民 5000 人、城镇居民 3000 人。要调查该地区居民的年收入情况。
(1) 最适合的抽样方法是？
(2) 如果样本总数为 200 人，农村和城镇各应抽多少人？
(1) 请填写抽样方法名称：
(2) 农村应抽 人，城镇应抽 人
(1) 农村和城镇居民收入可能有较大差异（层间差异大），应用分层抽样。
(2) 农村比例 = 5000/8000 = 62.5%，应抽 200 × 62.5% = 125 人；城镇比例 = 3000/8000 = 37.5%，应抽 200 × 37.5% = 75 人。
练习 2（10 分）
某班 10 名同学的数学月考成绩（满分 100 分）：65, 70, 72, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 95
(1) 计算均值和中位数。
(2) 计算方差（保留一位小数）。
(1) 均值 = ，中位数 =
(2) 方差 =
(1) 均值 = (65+70+72+78+80+82+85+88+90+95)/10 = 805/10 = 80.5 分。
中位数 = (80+82)/2 = 81 分。
(2) 方差 s2 = [(65-80.5)2+(70-80.5)2+...+(95-80.5)2] / 10
= (240.25+110.25+72.25+6.25+0.25+2.25+20.25+56.25+90.25+210.25)/10
= 808.5/10 = 80.85 ≈ 80.9（保留一位小数）。
练习 3（10 分）
某产品 5 个月的产量 x（万件）与生产成本 y（万元）数据如下：
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
求 y 关于 x 的线性回归方程 ŷ = a + bx。
提示：先计算 x̄ 和 ȳ，再用公式求 b 和 a。
b = ，a =
x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 3，ȳ = (10+9+8+7+6)/5 = 8
分子 ∑(xi-x̄)(yi-ȳ) = (-2)(2)+(-1)(1)+(0)(0)+(1)(-1)+(2)(-2) = -4-1+0-1-4 = -10
分母 ∑(xi-x̄)2 = 4+1+0+1+4 = 10
b = -10/10 = -1，a = 8 - (-1)×3 = 8+3 = 11
回归方程：ŷ = 11 - x
含义：产量每增加 1 万件，成本平均降低 1 万元（规模效应）。
练习 4（10 分）
为研究"经常锻炼"与"睡眠质量"的关系，调查了 300 人，数据如下：
| 睡眠好 | 睡眠差 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| 经常锻炼 | 80 | 40 | 120 |
| 很少锻炼 | 60 | 120 | 180 |
| 合计 | 140 | 160 | 300 |
(1) 如果锻炼与睡眠质量无关，经常锻炼且睡眠好的人的期望频数是多少？
(2) χ2 值约为多少？（保留一位小数）
(1) 期望频数 =
(2) χ2 =
(1) 期望频数 = 行合计 × 列合计 / 总数 = 120 × 140 / 300 = 56。
(2) 计算 χ2：
期望频数格子（按顺序：锻炼&睡眠好、锻炼&睡眠差、不锻炼&睡眠好、不锻炼&睡眠差）：
56, 64, 84, 96
χ2 = (80-56)2/56 + (40-64)2/64 + (60-84)2/84 + (120-96)2/96
= 576/56 + 576/64 + 576/84 + 576/96
≈ 10.29 + 9.00 + 6.86 + 6.00 = 30.2（保留一位小数）。
大于临界值 3.841，说明锻炼与睡眠质量显著相关。
练习 5（10 分）
某校从高一学生中抽取 50 人，记录他们的身高和体重数据，计算得：
身高均值 x̄ = 165cm，标准差 sx = 6cm
体重均值 ȳ = 58kg，标准差 sy = 8kg
现有甲同学身高 170cm，乙同学身高 160cm。
(1) 甲同学的身高在样本中大约处于什么水平？（用标准差解释）
(2) 若身高分布近似正态，则约 95% 的数据落在 (x̄-2s, x̄+2s) 范围内。按此模型估计身高的 95% 范围是多少？
(1) 甲的身高比均值高 个标准差
(2) 身高 95% 范围： ~ cm
(1) 甲的身高减去均值：170 - 165 = 5cm，比均值高 5cm。5 ÷ 6 ≈ 0.83 个标准差，属于正常偏高。
(2) 在身高分布近似正态的前提下，约 95% 的范围 = (165 - 2×6, 165 + 2×6) = (153, 177) cm。
乙的身高 160cm 也在这个范围内。