和定积最大定理的证明
若 a + b 为定值，则当 a = b 时，乘积 ab 取得最大值。
一、问题陈述
定理：设 a, b 为非负实数，且 a + b = S（S 为正常数），则
ab ≤ (S/2)2
等号成立当且仅当 a = b = S/2
换句话说：当两个正数的和固定时，它们的乘积在两者相等时达到最大。
二、交互式可视化
拖动下方滑块，观察当 a + b = S 固定时，乘积 ab 的变化规律：
操作提示：拖动 a 的滑块，观察矩形面积 ab 的变化。当 a 接近 S/2 时，面积达到最大。 右侧曲线显示了 ab 作为 a 的函数图像（抛物线），红色点标记当前位置。
三、几何意义
定理的几何意义非常直观：
- a 和 b 可以看作一个矩形的两条邻边
- a + b = S 固定，意味着矩形的半周长固定
- 矩形的面积 = a × b
- 在固定半周长的矩形中，正方形的面积最大（即 a = b 时）
这一结论在日常生活中也有体现：用固定长度的篱笆围矩形菜园，围成正方形时面积最大。
四、证明方法
方法一：配方法 (Completing the Square)
由 a + b = S，得 b = S − a，则：
现在分析这个表达式：
- −(a − S/2)² ≤ 0（任何实数的平方非负，前面有负号）
- 因此 ab ≤ S²/4
- 等号成立当且仅当 (a − S/2)² = 0，即 a = S/2
- 此时 b = S − a = S/2，所以 a = b
最大值：abmax = (S/2)²
方法二：均值不等式 (AM-GM Inequality)
对于任意非负实数 a, b，算术平均值不小于几何平均值：
(a + b) / 2 ≥ √(ab)
证明思路如下：
代入 a + b = S：
- 等号成立当且仅当 √a − √b = 0，即 a = b
- 此时 a = b = S/2
最大值：abmax = (S/2)²
结论
若 a, b ≥ 0 且 a + b = S（S > 0 为定值），则 ab ≤ (S/2)²
等号成立当且仅当 a = b = S/2
即：两数之和固定时，两数相等时乘积最大。
六、应用举例
例1：固定周长的矩形
用 40 米长的篱笆围一个矩形菜园，长和宽分别为多少时面积最大？最大面积是多少？
解：设长为 a，宽为 b，则 2(a + b) = 40，即 a + b = 20。
由和定积最大定理：ab ≤ (20/2)² = 100。
当 a = b = 10 时取等号，即围成 正方形 时面积最大，最大面积为 100 m²。
例2：固定乘积的最小和
已知 ab = 36（a, b > 0），求 a + b 的最小值。
解：由均值不等式：(a + b)/2 ≥ √(ab) = √36 = 6。
所以 a + b ≥ 12，当 a = b = 6 时取最小值 12。
（这是和定积最大的"对偶形式"：积定和最小）
例3：拆数求积最大
将正数 12 拆成两个正数之和，使它们的乘积最大。
解：设两个数为 a 和 b，则 a + b = 12。
ab ≤ (12/2)² = 36。
当 a = b = 6 时取等号，最大乘积为 36。
例4：先检查条件是否保留变量
已知某矩形的长比宽多 4 cm，且矩形的周长为 24 cm，求该矩形面积。
解：设宽为 a，长为 a + 4，则 2(a + a + 4) = 24，解得 a = 4 cm。
所以宽为 4 cm，长为 8 cm，面积为 32 cm²。
两个条件已经唯一确定了矩形，没有可供优化的变量。不能改取 6 cm × 6 cm，因为它不满足“长比宽多 4 cm”。
七、深入思考
7.1 三个正数的情况
若 a + b + c = S（定值），当 a = b = c = S/3 时，abc 取得最大值 (S/3)³。
更一般地，n 个正数之和固定时，各数相等时乘积最大。这由 AM-GM 不等式 直接给出。
7.2 与二次函数的关系
从配方法可见：ab = −a² + Sa = −(a − S/2)² + S²/4，这是一个开口向下的二次函数。
因此 ab 关于 a 的图像是一条开口向下的抛物线，顶点在 a = S/2 处，顶点纵坐标即为最大值 S²/4。这也解释了为什么可视化中的曲线是抛物线形状。
7.3 定理的推广
加权形式：若 a, b ≥ 0，pa + qb = S（p, q, S > 0），则当 pa = qb = S/2 时 ab 取得最大值。
证明思路：设 x = pa, y = qb，则 x + y = S，转化为普通形式。
用 AM-GM 推导：
八、互动问答
点击选项提交答案，系统自动判分。