平面向量

从"有向线段"到"坐标运算"——向量是连接代数与几何的桥梁。

一、平面向量的有关概念

1.1 向量的定义

向量（Vector）是既有大小又有方向的量。

标量：只有大小没有方向的量（如长度、质量、温度）
向量：同时具有大小和方向的量（如位移、速度、力）

向量的表示法：

几何表示：用有向线段表示，记作 AB（A 为起点，B 为终点）

字母表示：a、b、c 等粗体字母，或 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)

1.2 与向量有关的基本概念

名称	定义	记法
模	向量的大小（即长度）	\|AB\| 或 \|a\|
零向量	长度为 0 的向量，没有确定的方向	0
单位向量	模为 1 的向量	e（\|e\| = 1）
平行向量（共线向量）	两个非零向量方向相同或相反时称为平行；另规定零向量与任一向量平行	a ∥ b
相等向量	大小相等、方向相同的向量（与起点无关）	a = b
相反向量	大小相等、方向相反的向量	−a

注意：

零向量没有确定方向；为使共线关系和数乘关系保持统一，规定零向量与任何向量都平行
平行向量就是共线向量——因为向量可以自由平移，所有平行向量都可以移到同一条直线上
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小

例 1：判断下列命题的真假：

(1) 若 |a| = |b|，则 a = b。

(2) 若 a = b，则 |a| = |b|。

(3) 若 a ∥ b，则 a 与 b 的方向相同。

(4) 零向量与任何向量都平行。

解：

(1) 假命题。模相等只说明大小相等，方向不一定相同。

(2) 真命题。相等向量的模必然相等。

(3) 假命题。平行向量的方向可以相同，也可以相反。

(4) 真命题。这是零向量的规定性质。

例 2：如图，在正六边形 ABCDEF 中，找出与 AB 相等的向量和相反的向量。

相等向量（大小相等、方向相同）：ED

相反向量（大小相等、方向相反）：BA、DE

注意：向量相等只关心大小和方向，与起点位置无关。

概念 1. 下列命题中，正确的是？

A. 若 |a| = |b|，则 a = b

B. 若 a = b，则 a 与 b 的方向相同

C. 零向量有唯一确定的方向

D. 单位向量都相等

概念 2. 下列说法中，错误的是？

A. 零向量与任何向量都平行

B. 平行向量就是共线向量

C. 若两个向量互为相反向量，则它们的和为 0

D. 若 a ∥ b，则 a 与 b 的方向相同

二、平面向量的线性运算

2.1 向量加法

向量加法遵循以下两种法则：

三角形法则：将向量 b 的起点放在 a 的终点上，则从 a 的起点指向 b 的终点的向量就是 a + b。

平行四边形法则：将 a 和 b 的起点重合，以 a、b 为邻边作平行四边形，则从公共起点出发的对角线向量就是 a + b。

a + b = b + a（交换律）

(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）

a + 0 = a（零向量性质）

例 3：化简下列各式：

(1) AB + BC

(2) AB + BC + CA

(3) AB + BC + CD + DE

解：

(1) AB + BC = AC（三角形法则）

(2) AB + BC + CA = AC + CA = 0

(3) AB + BC + CD + DE = AE

2.2 向量减法

向量减法可以转化为加法：a − b = a + (−b)。

减法法则：将 a 和 b 的起点重合，则从 b 的终点指向 a 的终点的向量就是 a − b。

AB − AC = CB

2.3 数乘向量

实数 λ 与向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa：

|λa| = |λ| · |a|
当 λ > 0 时，λa 与 a 方向相同
当 λ < 0 时，λa 与 a 方向相反
当 λ = 0 时，λa = 0

λ(a + b) = λa + λb（分配律）

例 4：已知 a、b 是两个不共线的向量，化简：3(a + b) − 2(a − b)。

3(a + b) − 2(a − b) = 3a + 3b − 2a + 2b

= (3 − 2)a + (3 + 2)b

= a + 5b

概念 3. 在 ▵ABC 中，AB + BC + CA 等于？

A. 0

B. AC

C. CB

D. BA

计算 4. 化简 2(a + 2b) − 3(a − b) 的结果是？

A. −a + 7b

B. 5a + b

C. −a + b

D. a + 7b

三、平面向量的基本定理及坐标表示

3.1 平面向量基本定理

平面向量基本定理：如果 e₁、e₂ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ₁、λ₂，使得：

a = λ₁e₁ + λ₂e₂

其中 e₁、e₂ 称为一组基底。

说明：基底不唯一，只要两个向量不共线即可。同一向量在不同基底下的表示不同。

3.2 正交分解与坐标表示

取两个互相垂直的单位向量作为基底——i（x 轴方向）和 j（y 轴方向），这种分解称为正交分解。

对于任意向量 a，存在唯一的有序实数对 (x, y)，使得：

a = xi + yj

(x, y) 称为向量 a 的坐标，记作 a = (x, y)

3.3 向量的坐标运算

运算	坐标表示
加法	a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
减法	a − b = (x₁ − x₂, y₁ − y₂)
数乘	λa = (λx, λy)
向量坐标	若 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则 AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁)

例 5：已知 a = (2, −1)，b = (−3, 4)，求：

(1) a + b

(2) 2a − 3b

解：

(1) a + b = (2 + (−3), −1 + 4) = (−1, 3)

(2) 2a − 3b = 2(2, −1) − 3(−3, 4) = (4, −2) − (−9, 12) = (4 + 9, −2 − 12) = (13, −14)

例 6：已知 A(1, 2)、B(3, 5)，求向量 AB 的坐标。

AB = (3 − 1, 5 − 2) = (2, 3)

所以 AB = (2, 3)

计算 5. 已知 a = (2, −1)，b = (1, 3)，则 a + b = ？

A. (3, 2)

B. (1, −4)

C. (2, 3)

D. (3, −2)

四、平面向量的数量积

4.1 数量积的定义

已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ（0° ≤ θ ≤ 180°），那么：

数量积（也称点乘）：

a · b = |a| |b| cos θ

注意：两个向量的数量积是一个实数（标量），不是向量。因此数量积也称为"点积"或"内积"。

4.2 几何意义——投影

a · b 的几何意义：|a| 乘以 b 在 a 方向上的投影，或 |b| 乘以 a 在 b 方向上的投影。

b 在 a 方向上的投影为：|b| cos θ

4.3 数量积的性质

性质	公式
垂直条件	当 a、b 均非零时，a ⊥ b ⇔ a · b = 0
同向时	a · b = \|a\| \|b\|（cos 0° = 1）
反向时	a · b = −\|a\| \|b\|（cos 180° = −1）
自身点乘	a · a = \|a\|²

4.4 运算律

a · b = b · a（交换律）
(λa) · b = λ(a · b)（数乘结合律）
(a + b) · c = a · c + b · c（分配律）

4.5 坐标表示下的数量积

设 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则：

a · b = x₁x₂ + y₁y₂

|a| = √(x₁² + y₁²)

cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²) · √(x₂² + y₂²))

当 a、b 均非零时，a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

例 7：已知 |a| = 3，|b| = 4，a 与 b 的夹角 θ = 60°，求 a · b。

a · b = |a| |b| cos 60° = 3 × 4 × ½ = 6

所以 a · b = 6

例 8：已知 a = (1, 2)，b = (2, −1)，求 a · b 以及 a 与 b 的夹角 θ。

a · b = 1 × 2 + 2 × (−1) = 2 − 2 = 0

因为 a · b = 0，所以 a ⊥ b

即 θ = 90°

计算 6. 已知 |a| = 2，|b| = 3，a 与 b 的夹角为 60°，则 a · b = ？

A. 6

B. 3

C. 3√3

D. 2√3

计算 7. 已知 a = (2, 1)，b = (−1, 2)，则 a · b = ？

A. 4

B. −4

C. 0

D. 5

五、平面向量应用举例

5.1 向量在平面几何中的应用

向量是沟通代数与几何的桥梁，利用向量可以简洁地证明几何命题：

平行问题：a ∥ b ⇔ a = λb（b ≠ 0）

垂直问题：a ⊥ b ⇔ a · b = 0

长度问题：|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

例 9：用向量法证明：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

已知：在 ▵ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点。

求证：DE ∥ BC，且 |DE| = ½|BC|。

证明：

DE = AE − AD（由向量减法）

= ½AC − ½AB（D、E 是中点）

= ½(AC − AB)

= ½BC

所以 DE ∥ BC，且 |DE| = ½|BC|。证毕。

例 10：证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

已知：平行四边形 ABCD 中，AC ⊥ BD。

求证：ABCD 是菱形（即 |AB| = |AD|）。

证明：

设 AB = a，AD = b，则 AC = a + b，BD = b − a。

由 AC ⊥ BD 得 (a + b) · (b − a) = 0

展开：a · b − a · a + b · b − b · a = 0

−|a|² + |b|² = 0 ⇒ |a|² = |b|²

所以 |a| = |b|，即邻边相等，ABCD 是菱形。证毕。

5.2 向量在物理中的应用

向量在物理学中有广泛的应用，主要体现在：

力的合成与分解：遵循平行四边形法则

速度的合成与分解：如船速与水速的合成

功的计算：W = F · s = |F||s| cos θ

例 11：一个物体受到两个力 F₁ = (3, 4)N 和 F₂ = (1, −2)N 的作用，求合力的大小。

合力 F = F₁ + F₂ = (3 + 1, 4 + (−2)) = (4, 2)N

合力的大小：|F| = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 N

合力大小为 2√5 N，方向沿向量 (4, 2)，即与 x 轴正方向夹角 arctan(1/2) ≈ 26.6°。

例 12：一船在静水中的速度为 5 km/h，河水流速为 3 km/h。若船头指向与河岸垂直，求船的实际速度大小和方向。

设船速 v_船 = (0, 5)，水速 v_水 = (3, 0)

实际速度 v = v_船 + v_水 = (3, 5)

速度大小：|v| = √(3² + 5²) = √34 ≈ 5.83 km/h

方向：与河岸的夹角 θ 满足 tan θ = 5/3，θ ≈ 59°

实际速度大小约为 5.83 km/h，与河岸的夹角约为 59°；因此实际航迹并不垂直于河岸。

概念 8. 用向量法证明三角形中位线定理时，主要用到了向量中的哪种运算？

A. 数量积运算

B. 向量加法与数乘运算

C. 向量的坐标运算

D. 向量的投影

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