前置知识：课件 1（自然数）、课件 2（分数）、课件 3（负数）
代数式与字母表示数
起源：文字变符号的革命
在韦达之前，数学全部用文字描述。解一道方程要写好几页纸。比如"一个数加上它的三分之一等于 8"，古人就要写："设所求之数为某。某加上某的三分之一，等于八。问某几何。"
16 世纪末，法国数学家韦达（François Viète，1540–1603）做了一个大胆的决定：用字母代表未知数。他写道："用 A 或其他元音字母表示未知量，用辅音字母表示已知量。"
几十年后，笛卡儿在他的《几何学》中更进一步：用字母表末尾的字母（x, y, z）表示未知数，用字母表开头的字母（a, b, c）表示已知数。这个习惯，我们一直用到现在。
《古今数学思想》评价说："符号体系的引入，是数学史上最重要的事件之一。它把数学从语言的束缚中解放出来，让思想可以飞得更远。"
一、什么是代数式？
代数式 = 用运算符号把数字和字母连起来的式子。
例如：3x + 5，2a² - 4b，x/y + 1
字母可以代表任何数。这正是代数式的力量——一个式子可以描述无数种具体的情况。
比如：n × (n - 1) 可以表示"n 个人，每两人握一次手，一共握多少次"。
- 3 个人：3 × 2 = 6 次（实际上是 6/2 = 3 次，因为每次握手算两次）
- 4 个人：4 × 3 = 12 次（实际上 12/2 = 6 次）
这个式子是什么样的式子不重要，重要的是：一个式子概括了所有情况。
二、代数式的值
把字母换成具体的数字，算出来的结果就是代数式的值。
例：当 x = 3 时，2x² - 4x + 1 = ？
代入：2 × 3² - 4 × 3 + 1 = 2 × 9 - 12 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7
核心思想：代数式 = 一个"公式"或"模板"。你把不同的数字"填入"字母的位置，就能得到不同的结果。就像一台自动售货机——投不同的硬币（数字），出不同的饮料（结果）。
三、单项式与多项式
单项式：只有乘除运算，没有加减的代数式。
例：3x，-5a²b，7，2πr
单项式的组成：系数（数字部分）× 字母部分。
例：3x² 中，系数是 3，字母部分是 x²。
次数：所有字母的指数之和。
例：3x²（次数 2），5a²b（次数 3 = 2+1），7（次数 0，因为 7 = 7x⁰）。
多项式：几个单项式的和。
例：3x² + 2x - 5 是一个二次三项式。
- 项：多项式中的每个单项式，如 3x²、2x、-5
- 常数项：不含字母的项，如 -5
- 次数：次数最高的那项的次数，这里是 2
四、代数式的书写规范
- 数字 × 字母：数字在前，省略乘号。写 3x，不写 x3 或 3×x
- 1 × 字母：省略 1。写 x，不写 1x
- 除法：通常写成分数形式。写 a/b，不写 a÷b
- 字母相乘：按字母表顺序。写 abc，不写 bca
- 相同字母相乘：用指数。写 x²，不写 xx
五、初中阶段常见符号约定表
初中阶段会接触到不少数学符号。把它们记住，阅读和书写都会更顺手。下面分三类列出最常用的符号，每个都配上含义和简单例子。
1. 运算与关系符号
| 符号 | 含义 | 简单例子 |
|---|---|---|
| + | 加 | 3 + 2 = 5 |
| - | 减 | 5 - 2 = 3 |
| × | 乘（代数式中常省略） | 3 × 2 = 6；3x 表示 3·x |
| ÷ | 除（代数式中常写成分数） | 6 ÷ 2 = 3；a/b 表示 a÷b |
| = | 等于 | x = 5 |
| ≠ | 不等于 | x ≠ 0（分母不能为零） |
| ≈ | 约等于 | π ≈ 3.14 |
| < | 小于 | 2 < 3 |
| > | 大于 | 5 > 3 |
| ≤ | 小于或等于 | x ≤ 5 |
| ≥ | 大于或等于 | x ≥ 0（非负数） |
2. 其他常见符号
| 符号 | 含义 | 简单例子 |
|---|---|---|
| ∴ | 所以（推出结论） | x = 2，∴ x² = 4 |
| ∵ | 因为（给出理由） | ∵ a > b，∴ a - b > 0 |
| ⊥ | 垂直（两条线成 90° 角） | 直线 AB ⊥ 直线 CD |
| ∥ | 平行（两条线永不相交） | 直线 AB ∥ 直线 CD |
| ∠ | 角 | ∠ABC = 90° |
| π | 圆周率（约等于 3.14159…） | 圆的周长 = 2πr |
记忆小窍门：不必一次全背下来，遇到一个记一个。符号是数学的"字母表"，认全了，后面的公式和证明读起来才不费劲。
挑战性问题
问题 1：在第 1 个课件中，我们学了"位值制"。一个三位数，百位是 a，十位是 b，个位是 c。用代数式写出这个数。如果 a=3, b=0, c=5，这个数是多少？
问题 2：n 个人握手，每两人握一次，不重复。你能写出一个代数式表示总握手次数吗？（提示：每个人和 n-1 个人握手，但每次握手被算了两次。）
问题 3：为什么 0 不能做分母？在代数式 a/b 中，如果 b=0 会发生什么？
拓展阅读
韦达的故事：韦达本是律师，业余研究数学。他最大的贡献是"用字母代表数"，让数学从"一个个例子的计算"变成了"一类问题的统一解法"。他被称为"代数学之父"。有趣的是，韦达还破译过西班牙的密码，被西班牙国王指控为"使用巫术"。
推荐阅读：《代数的历史》—— 韦达和笛卡儿的符号革命；《古今数学思想》—— 符号体系如何改变数学。
习题
1. 当 x = 2 时，求代数式 3x² - 2x + 1 的值。
2. 写出单项式 -7a³b 的系数和次数。
3. 多项式 5x⁴ - 3x² + 2x - 7 是几次几项式？常数项是多少？
4. 已知代数式 ax² + bx + c，当 x=1 时值为 3，当 x=2 时值为 9，当 x=0 时值为 1。求 a, b, c。
小结
- 代数式 = 用字母代表数，用运算符号连接——数学从"算一个个例子"变成"描述一类问题"
- 韦达和笛卡儿的符号革命：a, b, c 表示已知数，x, y, z 表示未知数
- 单项式 = 系数 × 字母部分；多项式 = 几个单项式的和
- 次数 = 字母的指数之和；常数项 = 不含字母的项
- 代数式像一台"自动售货机"——投入数字，产出结果