前置知识：课件 10（几何图形）、课件 11（直线、射线、线段）

角

起源：为什么要把圆分成 360 度？

角无处不在——打开的门和门框之间、时钟的时针和分针之间、滑梯和地面之间。

古巴比伦人最早把圆分成了 360 等份。为什么是 360？有很多说法：

天文说：古巴比伦人观察到，太阳在天空中"走"一圈大约需要 360 天（他们的历法一年 360 天）。
数学说：60 进制很方便——360 能被 2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180 整除，比 100 方便得多。
几何说：360 接近一年中的天数，六等分刚好是 60，适合画正六边形和等边三角形。

《古今数学思想》提到：巴比伦的 60 进制通过天文学传到希腊，又通过希腊传到欧洲。今天我们仍然用度、分、秒来量角度，就是巴比伦文明的遗产。

中国古代的几何智慧：《周髀算经》"径一周三"

把圆"等分"来量角，不只是古巴比伦人的做法。中国最古老的天文算学著作之一《周髀算经》（约公元前 1 世纪）也讨论过圆与角的关系，其中记载：

"径一周三。"

意思是圆的周长约为直径的 3 倍，即圆周率 π ≈ 3——这是中国古代对圆周率的早期近似值。书中还用"勾股各自乘，并而开方除之"记述了勾股定理。

古人用"度"量角、用"径一周三"量圆，东方和西方在不同的度量传统里，都把"弯曲"折算成"数字"。后来刘徽"割圆"、祖冲之算出 π 介于 3.1415926 与 3.1415927 之间，把这条追求精确的路推向高峰。

一、什么是角？

角 = 从同一点出发的两条射线组成的图形。

这个公共点叫作顶点，两条射线叫作边。

角的表示：∠AOB 或 ∠O（顶点字母在中间）。

用放大镜看角——大小不变

角的大小只取决于两条边"张开"的程度，和图形画得大小无关。把角放进放大镜下：边变长了、弧变大了，看起来"更占地方"，但它的度数一点都没变——这就叫角的放缩不变性。

结论：角是"张口"大小的量，放大镜只能放大长度，放大不了"张开的程度"。所以量角的大小时，无论把角画多大多小，量出来的度数都一样。

二、角的度量：度、分、秒

角的大小用度（°）来度量。

1 度 = 把圆分成 360 等份，每一份的圆心角是 1 度。

更精细的度量：

1° = 60′（60 分）
1′ = 60″（60 秒）

为什么是 60 进制？这是古巴比伦的遗产！60 能被 2、3、4、5、6、10、12、15、20、30 整除，分起来特别方便。

三、角的分类

分类总结：

锐角：0° < 角 < 90°（尖锐的角）
直角：角 = 90°（方方正正的角）
钝角：90° < 角 < 180°（钝钝的角）
平角：角 = 180°（一条直线）
周角：角 = 360°（转了一圈）

四、角的加减与特殊关系

角的加法：∠AOB + ∠BOC = ∠AOC（如果 B 在 AOC 内部）

特殊关系：

互余：两个角加起来 = 90°，如 30° 和 60°
互补：两个角加起来 = 180°，如 120° 和 60°
对顶角：两条直线相交，对顶角相等

对顶角相等：
两条直线相交，形成四个角。∠1 和 ∠3 是对顶角，∠2 和 ∠4 是对顶角。
为什么 ∠1 = ∠3？因为 ∠1 + ∠2 = 180°（平角），∠2 + ∠3 = 180°（平角），所以 ∠1 = ∠3。

角的度量：量角器怎么用？

量角器是一个半圆形的工具，上面标着 0° 到 180°（有时会标两圈）。

使用步骤：

把量角器的中心点对准角的顶点
让量角器的0° 刻度线对准角的一条边
看另一条边指在哪个刻度上——那就是角的度数

注意：量角器上有两圈刻度（内圈和外圈），选对起点是 0° 的那一圈。

如图：把量角器中心对准角的顶点，0° 刻度线（底边）对准角的一条边；另一条边所指的刻度就是角的度数——这里读出 60°。

挑战性问题

问题 1：时钟在 3:00 时，时针和分针的夹角是多少度？在 5:00 时呢？

时钟一圈 360°，共 12 个数字，相邻两个数字间 = 360° ÷ 12。

每两个数字之间是 30°。3:00：3 × 30° = 90°（直角）；5:00：5 × 30° = 150°（钝角）。

问题 2：一个角的补角比它的余角大多少度？这个差值是固定的吗？

设这个角为 α，补角 = 180° − α，余角 = 90° − α，两者相减。

(180° − α) − (90° − α) = 90°。差值固定为 90°，与 α 无关。

问题 3：为什么古巴比伦人把圆分成 360 等份，而不是 100 等份？如果是你，你会选哪个数？为什么？

想想哪个数的"约数"更多，等分起来更方便；再想想天文。

360 的约数很多（能被 2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180 整除），等分方便；且 360 接近一年的天数。100 的约数少（2、4、5、10、20、25、50），等分不便。我选 360。

拓展阅读

弧度制：除了"度"，数学家还发明了另一种度量角的方式——弧度（radian）。1 弧度等于"弧长等于半径时的圆心角"。一个圆是 2π 弧度 ≈ 6.28 弧度。为什么用弧度？更本质地说，弧度把"角"和"实数"统一了起来——每一个角都对应一个实数（弧长 ÷ 半径），于是角也能像数一样参与运算和比较。比如"弧长 = 半径 × 弧度"这种公式，在弧度制下简洁而统一；到了高中，三角函数用弧度来算微分和积分也会简单得多。

推荐阅读：《古今数学思想》—— 了解角度的由来和巴比伦 60 进制的影响；《极简数学》—— 用生活中的例子理解角度。

习题

1. 判断：120° 的角是钝角。对还是错？

钝角：大于 90° 且小于 180°。

对。120° 在 90° 和 180° 之间，是钝角。

2. 一个角是 35°，它的余角是多少度？补角是多少度？

余角 = 90° - 35°；补角 = 180° - 35°。

余角 = 55°，补角 = 145°。

3. 时钟在 2:30 时，时针和分针的夹角是多少度？

分针在 6（180°）。时针在 2 和 3 之间的正中间：2 是 60°，30 分钟走了一半 → 60° + 15° = 75°。

180° - 75° = 105°（钝角）

4. 两条直线相交，其中一个角是 50°。求另外三个角的度数。

对顶角相等，邻补角之和为 180°。

对顶角 = 50°，另外两个角各 = 180° - 50° = 130°。所以四个角分别是 50°、130°、50°、130°。

小结

角 = 从同一点出发的两条射线组成的图形，顶点 + 两条边
角的度量单位是度（°），1° = 60′，1′ = 60″（古巴比伦 60 进制遗产）
锐角（< 90°）→ 直角（= 90°）→ 钝角（90°~180°）→ 平角（= 180°）→ 周角（= 360°）
互余：和为 90°；互补：和为 180°；对顶角：相等
量角器：中心对准顶点，0° 线对准一条边，读另一条边

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