前置知识：课件 1（自然数——计数基础）
数据的收集与整理
起源：人类为什么要统计？
公元前 3000 年，古埃及法老要做一件大事：建金字塔。他需要知道：全国有多少人？多少人能干活？仓库里有多少粮食能养活工人？于是，最早的"人口普查"就诞生了——官员挨家挨户登记人数、牲畜和粮食。
在中国，大禹治水（约公元前 2000 年）时，也统计了全国的土地和人口。《尚书·禹贡》就记载了各地的物产和赋税。到了周朝，更有了专门的"司民"官职，负责统计人口。
到了明朝洪武年间（14 世纪末），朱元璋在全国推行了著名的"鱼鳞册"（又称"鱼鳞图册"）——一种用于土地登记和统计的图册。因为图册中每块土地按形状画出，一块块拼起来像鱼鳞，所以叫"鱼鳞图册"。朝廷派官员到各地丈量土地，把每块田的位置、面积、主人、肥瘠等级都登记在册，作为征收赋税的依据。这是古代中国最系统、规模最大的统计实践之一，沿用了几百年——统计不仅是"数人头"，更是治国理财的基础。
到了现代，美国总统大选、奥运奖牌榜、天气预报、疫情数据……统计无处不在。数据就像侦探的眼睛，帮我们看清世界的真相。
但收集数据只是第一步——一堆杂乱的数据毫无用处，必须整理才能看出规律。这就是本课要学的内容。
一、统计调查：普查与抽样调查
想知道全班 50 个同学的身高，最好的办法是每个人都量一遍。这就是普查——对全体对象逐一调查。
但有些事不可能普查：你想知道全国人民最喜欢吃什么口味的方便面，难道要问遍 14 亿人？太慢了，也太贵了！
这时候就用抽样调查——从总体中选出一部分作为样本，用样本的情况来推测总体。
普查 vs 抽样调查：
- 普查：对全体对象逐一调查。结果准确，但费时费力。
- 抽样调查：只调查一部分对象。省时省力，但有误差。
什么时候用普查？对象不多、结果必须精确的时候。比如：全班同学的身高、学校运动会的报名人数。
什么时候用抽样调查？对象太多、或者调查会破坏对象的时候。比如：灯泡寿命测试（测完灯泡就坏了！）、全国收视率调查。
① 检查一批炮弹的射程——抽样调查（炮弹打出去就没了！）
② 了解全班同学周末的作业时间——普查（才几十个人，不难）
③ 了解某品牌汽车的安全性能——抽样调查（碰撞测试会毁掉车）
④ 全国人口数量——普查（国家每 10 年搞一次，虽然辛苦但必须准确）
二、总体、个体、样本、样本容量
这四个概念是统计学的"四大金刚"，一定要分清：
总体：要考察的全体对象。
个体：总体中的每一个考察对象。
样本：从总体中抽取的一部分个体。
样本容量：样本中个体的数目（注意：不是带单位，只是一个数字）。
总体：该校七年级 800 名学生的体重
个体：该校七年级每一名学生的体重
样本：被抽查的 50 名学生的体重
样本容量：50（注意：只写 50，不写"50 名"！）
特别提醒：总体、个体、样本说的都是"体重"这个数据，而不是"学生"这个人！我们考察的是数据，不是人。所以总体是"800 名学生的体重"，不是"800 名学生"。
三、数据的整理：频数与频率
收集数据只是第一步，一堆杂乱的数据什么也看不出来。得整理。
假设我们调查了全班 30 个同学最喜欢的运动，得到一堆数据：
篮球、足球、乒乓球、篮球、羽毛球、篮球、足球、乒乓球、篮球、篮球、跑步、足球、篮球、羽毛球、乒乓球、篮球、足球、篮球、乒乓球、跑步、篮球、足球、羽毛球、篮球、乒乓球、篮球、跑步、篮球、足球、乒乓球
乱不乱？太乱了！我们得把它们"分类计数"——这叫做频数统计。
频数：就是某个数据出现的次数。
频率：频数 ÷ 总数（通常用百分数表示）。
频率 = 频数 ÷ 数据总数
用"正"字法来统计（每画一笔算一个，一个"正"字正好 5 笔）：
| 运动项目 | 画"正"字 | 频数 | 频率 |
|---|---|---|---|
| 篮球 | 正正正 | 13 | 13 ÷ 30 ≈ 43.3% |
| 足球 | 正一 | 6 | 6 ÷ 30 = 20% |
| 乒乓球 | 正 | 5 | 5 ÷ 30 ≈ 16.7% |
| 跑步 | 下 | 3 | 3 ÷ 30 = 10% |
| 羽毛球 | 下 | 3 | 3 ÷ 30 = 10% |
| 合计 | 30 | 100% |
看清规律：整理前，30 个数据杂乱无章；整理后，一眼就能看出——篮球最受欢迎（43.3%），跑步和羽毛球最少（各 10%）。这就是数据整理的力量！
四、直方图：用图形展示数据分布
表格能看出频数，但不够直观。如果数据是连续的数值（比如身高、体重、考试分数），我们常用直方图来展示。
做直方图的步骤：
- 找出最大值和最小值，算出极差（最大值 - 最小值）
- 决定分组（分成几组，每组叫一个"组距"）
- 统计每组的频数
- 画图：横轴是组别，纵轴是频数，每组的柱子紧紧挨在一起
58, 62, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 78, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98
极差 = 98 - 58 = 40。按每 10 分一组，可以分成 4 组。
| 分数段 | 频数 |
|---|---|
| 50 ~ 60 | 1 |
| 60 ~ 70 | 3 |
| 70 ~ 80 | 7 |
| 80 ~ 90 | 12 |
| 90 ~ 100 | 7 |
直方图 vs 条形图（注意区分！）：
- 直方图：柱子紧挨在一起，表示连续数据（如身高、分数），横轴是数值范围
- 条形图：柱子分开，表示分类数据（如喜欢的运动项目），横轴是类别
简单说：连续的数值用直方图，分类的数据用条形图。
五、画直方图的完整步骤
第 1 步：计算极差
极差 = 最大值 - 最小值
第 2 步：决定组距和组数
组距 = 极差 ÷ 组数（通常取整数，组数一般在 5~12 组之间）
第 3 步：确定分点
每组的数据范围，要确保每个数据恰好属于一组。
第 4 步：列频数分布表
用"正"字法统计每组的数据个数。
第 5 步：画直方图
横轴标组别，纵轴标频数，柱子紧挨着画。
148, 152, 155, 156, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 163, 164, 165, 165, 166, 166, 167, 167, 168, 168, 169, 169, 170, 170, 171, 171, 172, 172, 173, 173, 174, 175, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 182, 185
极差 = 185 - 148 = 37。取组距为 5，则组数 = 37 ÷ 5 ≈ 7.4 → 取 8 组。
| 身高段（cm） | 频数 |
|---|---|
| 148 ~ 153 | 2 |
| 153 ~ 158 | 3 |
| 158 ~ 163 | 5 |
| 163 ~ 168 | 8 |
| 168 ~ 173 | 10 |
| 173 ~ 178 | 7 |
| 178 ~ 183 | 4 |
| 183 ~ 188 | 1 |
从中可以看出：身高集中在 168~173cm 这段的人数最多（10 人），大部分同学身高在 158~183cm 之间。
挑战性问题
问题 1：有人说"抽样调查的结果一定比普查差"，你同意吗？为什么？（提示：想想测灯泡寿命的情况）
问题 2：如果样本容量太小，会产生什么问题？假设你只想通过 3 个同学的身高来推测全班 50 人的平均身高，这样做靠谱吗？
问题 3：直方图的柱子为什么要紧挨在一起，而条形图的柱子是分开的？想一想背后的道理。
拓展阅读
统计学的"开山鼻祖"：英国数学家约翰·格朗特（John Graunt）在 1662 年写了一本书《关于死亡表的自然与政治观察》，这是历史上第一本用数据说话的书。他整理了伦敦几十年的死亡记录，发现：男孩出生率略高于女孩，但男性死亡率也更高，所以男女比例大致平衡。他还发现了某些疾病的流行规律——这是人类第一次用"数据"而不是"感觉"来理解世界。
有趣的统计事实：如果你在大街上随机问 1000 个人的喜好，结果就已经相当准确了——误差通常不超过 ±3%。这就是为什么美国总统大选的民调通常只问几千人，就能预测几亿人的投票结果。当然，前提是样本选得足够随机。
推荐阅读：《中小学数学要义》中关于统计的章节——用通俗的语言讲明白了普查、抽样、频数分布这些概念。
习题
1. 下列调查中，适合用普查还是抽样调查？
（1）了解一批灯泡的使用寿命
（2）了解全班同学的身高
（3）检查飞机上乘客是否携带违禁物品
（4）了解全国初中生的课外阅读时间
2. 为了解某校八年级 600 名学生的视力情况，从中抽取了 50 名学生进行视力检测。请指出总体、个体、样本和样本容量。
3. 在 30 次掷硬币实验中，正面朝上出现了 18 次。正面朝上的频数和频率各是多少？
4. 某班 40 人数学测验成绩如下：
65, 72, 78, 81, 85, 88, 90, 66, 73, 79, 82, 85, 88, 91, 68, 74, 79, 83, 86, 89, 92, 70, 75, 80, 84, 87, 89, 93, 71, 76, 80, 84, 87, 90, 94, 69, 72, 77, 81, 82
按 60~70, 70~80, 80~90, 90~100 分组，列出频数分布表。
5. 一组数据的最大值是 95，最小值是 42。如果组距取 10，可以分成几组？
6. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）样本容量越大越好
（2）抽样调查的结果一定有误差
（3）要了解全校学生的睡眠情况，只调查了七年级学生，这个样本具有代表性
7. 某校七年级 500 名学生，要了解他们对校服的满意度。下面哪种抽样方法最合理？
A. 只调查男生 B. 只调查成绩好的学生 C. 随机抽取学号末尾为 3 的学生 D. 只调查班干部
8. 下表是某班 50 名学生的体重频数分布：
| 体重（kg） | 40~45 | 45~50 | 50~55 | 55~60 | 60~65 |
|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 3 | 10 | 18 | 14 | 5 |
（1）体重在 50~55kg 的人数占总人数的百分之几？
（2）体重在 55kg 及以上的有多少人？
9. 小华想了解小区居民每天锻炼的时间，他在小区门口从早上 8 点到 9 点调查了路过的 50 位居民。他的调查结果能代表整个小区的情况吗？为什么？
10. 某校调查了 200 名学生的零花钱情况，得到以下数据：
| 每周零花钱（元） | 0~20 | 20~40 | 40~60 | 60~80 | 80~100 |
|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 30 | 50 | 60 | 40 | 20 |
（1）每周零花钱在 40 元以上的学生占比是多少？
（2）如果该校共有 1000 名学生，请你估计全校每周零花钱在 40~60 元的大约有多少人？
小结
- 普查和抽样调查是两种收集数据的方式——普查全面但费力，抽样省力但有误差
- 总体 → 个体 → 样本 → 样本容量：四个概念要分清，注意说的是"数据"不是"人"
- 频数 = 出现的次数，频率 = 频数 ÷ 总数
- 直方图用柱子的高度展示数据分布，柱子紧挨在一起（与条形图不同！）
- 画直方图五步走：算极差 → 定组距 → 定分点 → 列频数表 → 画图
- 好的抽样调查要随机和有代表性，不能有偏向