前置知识：课件 1（自然数、零与十进制）、课件 2（分数）、课件 3（负数）、课件 4（有理数加减乘除）
奥数挑战 — 阶段一：数与计算
本阶段围绕「自然数、分数、负数」出题，考察位值制、分数的灵活运用、负数的运算规律等。每题都有思路提示和详细答案，建议先独立思考，实在想不出再看提示。本阶段所有题目均不涉及方程和代数式，仅使用算术方法求解。
1. 一个三位数，十位数字比个位数字大 1，百位数字比十位数字大 2，且各位数字之和为 10。如果把这个三位数的数字顺序颠倒，得到的新数比原数小 297。求这个三位数。
从个位数字开始逐个尝试。个位加 1 得十位，十位加 2 得百位，看三个数字之和是否为 10。
从个位开始逐个尝试：
个位 = 0：十位 = 1，百位 = 3，数字和 = 0+1+3 = 4 ≠ 10
个位 = 1：十位 = 2，百位 = 4，数字和 = 1+2+4 = 7 ≠ 10
个位 = 2：十位 = 3，百位 = 5，数字和 = 2+3+5 = 10 ✓
所以三位数是 532。颠倒后为 235，532 − 235 = 297，符合条件。
答案：532
2. 计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90
观察每一项的分母：2 = 1×2，6 = 2×3，12 = 3×4，…… 你能把每一项拆成两个分数的差吗？比如 1/6 = 1/2 − 1/3。
把每一项拆成两个分数的差：
1/2 = 1/(1×2) = 1 − 1/2
1/6 = 1/(2×3) = 1/2 − 1/3
1/12 = 1/(3×4) = 1/3 − 1/4
……
1/90 = 1/(9×10) = 1/9 − 1/10
全部相加后，中间项全部抵消：
原式 = 1 − 1/10 = 9/10
3. 9 的乘法口诀有：一九得九、二九十八、三九二十七……九九八十一。把这些结果（9, 18, 27, 36, …, 81）中每个数的各位数字相加，你会发现它们的数字之和都等于同一个数。这个数是多少？
把 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 每一个数的各位数字加起来，看看和都是几？
把每个结果的各位数字相加：
9 → 9
18 → 1+8 = 9
27 → 2+7 = 9
36 → 3+6 = 9
45 → 4+5 = 9
…… 全部等于 9。
规律：9 的倍数，各位数字之和一定是 9（或 9 的倍数）。反过来也成立：一个数各位数字之和是 9 的倍数，这个数本身也是 9 的倍数。例如 477：4+7+7 = 18，1+8 = 9，所以 477 是 9 的倍数（477 = 9×53）。
4. 比较 5/8 和 7/12 的大小，哪个分数更大？
把两个分数通分，变成同分母的分数再比较分子。
8 和 12 的最小公倍数是 24。
5/8 = (5×3)/(8×3) = 15/24
7/12 = (7×2)/(12×2) = 14/24
因为 15/24 > 14/24，所以 5/8 更大。
5. 计算：(−1) + 2 + (−3) + 4 + (−5) + 6 + … + (−99) + 100
将相邻两项配对：(−1 + 2) = 1，(−3 + 4) = 1，…… 一共有多少对？
原式 = (−1 + 2) + (−3 + 4) + (−5 + 6) + … + (−99 + 100)
每一对的和都是 1，共有 100 ÷ 2 = 50 对。
总和 = 50 × 1 = 50
6. 用数字 1、2、3、4 各一次组成两个两位数，怎样组合能使这两个两位数的乘积最大？最大的乘积是多少？
要使乘积最大，十位上应该放较大的数字。把最大的两个数字 4 和 3 放在十位，剩下 2 和 1 放在个位，比较两种排列的乘积。
十位放最大的两个数字：4 和 3。个位放剩下的 2 和 1。有两种可能：
41 × 32 = 1312
42 × 31 = 1302
1312 > 1302，所以 41 和 32 的组合乘积最大。
答案：41 × 32 = 1312
7. 比较大小：999/1000 和 1000/1001，哪个大？不用计算器。
将两个分数都写成「1 减去一个分数」的形式，比较减去的部分大小。
999/1000 = 1 − 1/1000
1000/1001 = 1 − 1/1001
因为 1/1000 > 1/1001，所以 1 − 1/1000 < 1 − 1/1001。
因此 1000/1001 更大。
8. 把 1/7 化成小数，小数点后第 2024 位数字是多少？
先算出 1/7 的小数，找出循环节长度，再用 2024 除以循环节长度看余数。
1/7 = 0.142857142857…，循环节为 142857，长度为 6。
2024 ÷ 6 = 337 余 2。
余数为 2，对应循环节的第 2 位数字。
循环节第 2 位是 4。
9. 一只青蛙在井底，井深 8 米。它白天向上跳 3 米，晚上休息时向下滑 2 米。请问它第几天才能跳出井口？（把向上跳记作 +3，向下滑记作 −2）
先算一个完整昼夜（白天+晚上）净上升多少米。注意：当某天白天跳出井口后，当晚就不会再向下滑了。
一个完整昼夜净上升：3 − 2 = 1 米。
但最后一天只要白天跳出 8 米就成功了，不再下滑。
前 5 天（5 个昼夜）净上升 5 米，第 6 天白天从 5 米处向上跳 3 米：5 + 3 = 8，正好到井口！
所以第 6 天跳出井口。
10. 一个自然数，用它去除 70、110、160 得到的三个余数之和是 50。求这个自然数。
三个被除数的和是 340，减去余数和 50 得到 290，这个 290 一定是除数的整数倍。找出 290 大于 16 的约数，逐个验证。
三个被除数的和：70 + 110 + 160 = 340。
减去三个余数的和 50：340 − 50 = 290。
290 一定是除数的整数倍（因为 340 = 除数 × 商的和 + 50）。
290 = 2 × 5 × 29，约数有：1, 2, 5, 10, 29, 58, 145, 290。
三个余数之和为 50，每个余数都小于除数，所以除数至少为 17（如果除数是 16，三个余数最大为 15+15+15=45 < 50）。
大于 16 的约数：29, 58, 145, 290。
逐个验证：
29：70÷29=2 余 12，110÷29=3 余 23，160÷29=5 余 15，12+23+15=50 ✓
58：70÷58=1 余 12，110÷58=1 余 52，160÷58=2 余 44，12+52+44=108 ✗
因此 除数是 29。