前置知识：课件 16（实数）、课件 17（二次根式）
奥数挑战 — 阶段六：实数与根式
本阶段围绕「实数、平方根/立方根、二次根式」出题，考察无理数的理解、根式化简与运算、分母有理化等。
1. 证明 √2 是无理数。（用反证法）
假设 √2 是有理数，即 √2 = p/q（p、q 互质），两边平方得 2 = p²/q²，进而推出 p 和 q 都是偶数，与互质矛盾。
证明：
假设 √2 是有理数，则存在互质的正整数 p、q，使 √2 = p/q。
两边平方：2 = p²/q²，即 p² = 2q²。所以 p² 是偶数，故 p 是偶数。
设 p = 2k，代入：(2k)² = 2q²，即 4k² = 2q²，q² = 2k²。所以 q² 也是偶数，故 q 也是偶数。
p、q 都是偶数，与 p、q 互质矛盾。所以假设不成立，√2 是无理数。
2. 化简：√(9 + 4√5)
尝试将其写成 (√a + √b)² = a + b + 2√(ab) 的形式，比较有理部分和无理部分：a + b = 9，2√(ab) = 4√5。
√(9 + 4√5) = √5 + 2。
设 √(9 + 4√5) = √a + √b（a > b > 0），则 (√a + √b)² = a + b + 2√(ab) = 9 + 4√5。
比较得：a + b = 9，ab = (2√5)² / 4 = 20 / 4 = 5。
解：a = 5，b = 4。故原式 = √5 + √4 = √5 + 2。
3. 计算：1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + 1/(√4 + √3) + ... + 1/(√100 + √99)
分母有理化：1/(√(n+1) + √n) = √(n+1) − √n。代入后，中间的项会全部抵消（裂项相消）。
原式 = 9。
分母有理化：1/(√(n+1) + √n) = √(n+1) − √n。
原式 = (√2 − √1) + (√3 − √2) + (√4 − √3) + … + (√100 − √99) = √100 − √1 = 10 − 1 = 9。
4. 已知 a = √3 + √2，b = √3 − √2。求 a² + b² 和 ab 的值。
利用公式：a² + b² = (a + b)² − 2ab，或直接代入计算。ab 用平方差公式 (√3 + √2)(√3 − √2) = 3 − 2 = 1。
a² + b² = 10，ab = 1。
ab = (√3 + √2)(√3 − √2) = (√3)² − (√2)² = 3 − 2 = 1。
a + b = (√3 + √2) + (√3 − √2) = 2√3。
a² + b² = (a + b)² − 2ab = (2√3)² − 2×1 = 12 − 2 = 10。
5. 化简：(√5 + √3)/(√5 − √3) + (√5 − √3)/(√5 + √3)
先对每一项分母有理化，或通分后利用 (a+b)² + (a−b)² = 2(a² + b²)。
原式 = 8。
方法一：分母有理化：
(√5+√3)/(√5−√3) = (√5+√3)²/(5−3) = (8+2√15)/2 = 4+√15。
(√5−√3)/(√5+√3) = (√5−√3)²/(5−3) = (8−2√15)/2 = 4−√15。
相加得 8。
方法二：设 a = √5，b = √3，原式 = (a+b)/(a−b) + (a−b)/(a+b) = [(a+b)² + (a−b)²]/(a²−b²) = (2a²+2b²)/(a²−b²) = (2×5+2×3)/(5−3) = 16/2 = 8。
6. 比较大小：√7 + √10 和 √3 + √14（不用计算器）
两边平方后比较。注意 (√7 + √10)² = 17 + 2√70，(√3 + √14)² = 17 + 2√42，只需比较 √70 和 √42。
√7 + √10 > √3 + √14。
(√7 + √10)² = 7 + 10 + 2√70 = 17 + 2√70。
(√3 + √14)² = 3 + 14 + 2√42 = 17 + 2√42。
因为 √70 > √42，所以 17 + 2√70 > 17 + 2√42，即左边平方大于右边平方。两边都为正数，故 √7 + √10 > √3 + √14。
7. 已知 x = (√5 + 1)/2，求 x² − x − 1 的值。
x = (√5 + 1)/2 是黄金分割数 φ，满足 φ² = φ + 1，即 x² − x − 1 = 0。可直接代入验证。
x² − x − 1 = 0。
直接代入：x² = [(√5 + 1)/2]² = (5 + 2√5 + 1)/4 = (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2。
x² − x − 1 = (3 + √5)/2 − (√5 + 1)/2 − 1 = (3 + √5 − √5 − 1)/2 − 1 = 2/2 − 1 = 1 − 1 = 0。
（x 满足方程 x² = x + 1，即 x² − x − 1 = 0。）
8. 化简：√(x² − 6x + 9) + √(x² + 2x + 1)（其中 −1 ≤ x ≤ 3）
将根号内配方：√(x² − 6x + 9) = √[(x − 3)²] = |x − 3|，√(x² + 2x + 1) = √[(x + 1)²] = |x + 1|。根据 x 的范围去掉绝对值。
原式 = 4。
√(x² − 6x + 9) = √[(x − 3)²] = |x − 3|，√(x² + 2x + 1) = √[(x + 1)²] = |x + 1|。
当 −1 ≤ x ≤ 3 时：x − 3 ≤ 0，所以 |x − 3| = 3 − x；x + 1 ≥ 0，所以 |x + 1| = x + 1。
原式 = (3 − x) + (x + 1) = 4。
9. 已知 √(a + √b) = √m + √n（其中 a、b、m、n 都是正整数且 m > n），求用 a、b 表示 m、n 的公式。
两边平方：a + √b = m + n + 2√(mn)。比较有理和无理部分，得到 m + n = a，4mn = b。解出 m、n。
m、n 是方程 t² − at + b/4 = 0 的两根，即 m, n = (a ± √(a² − b)) / 2。
两边平方：a + √b = (√m + √n)² = m + n + 2√(mn)。
比较有理和无理部分：m + n = a ①，2√(mn) = √b，即 4mn = b ②。
由 ①②，m、n 是方程 t² − at + b/4 = 0 的两根，由求根公式：m, n = (a ± √(a² − b)) / 2。其中 m > n，故取正号。
10. 计算：√(2024 × 2025 × 2026 × 2027 + 1)（提示：设为 n，找规律）
设 n = 2024，则表达式为 n(n+1)(n+2)(n+3) + 1。将它配成完全平方：(n² + 3n + 1)²。
原式 = 4,102,649。
设 n = 2024，原式 = √[n(n+1)(n+2)(n+3) + 1]。
n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = [n(n+3)]·[(n+1)(n+2)] + 1 = (n²+3n)(n²+3n+2) + 1。
令 m = n² + 3n，则 = m(m+2) + 1 = m² + 2m + 1 = (m+1)²。
所以原式 = m + 1 = n² + 3n + 1 = 2024² + 3×2024 + 1。
2024² = 4,096,576，3×2024 = 6,072，故原式 = 4,096,576 + 6,072 + 1 = 4,102,649。