前置知识：课件 1（几何图形：点、线、面、体）、课件 14（投影与视图）
立体与平面的转化 — 在"降维"和"升维"之间来回
起源：包装盒的秘密
你有没有观察过快递盒是怎么来的？工厂里印出来的其实是一张平平的纸板，上面已经裁好了折痕。工人沿着折痕一折、一粘，一个立体的盒子就"站起来"了。
装货、压平、再装货——同一个盒子，在立体的盒子和平面的纸板之间来回切换。这里面藏着两种"变身魔法"：
- 立体 → 平面：把立体图形"剪开摊平"，叫做展开；用"影子"看它，叫做视图。
- 平面 → 立体：把平面图形"折起来"，叫做折叠；让平面图形"转起来"，就能旋转成体。
《一个数学家的叹息》里说："立体图形一点也不神秘——它就是平面图形的三维版本。会拆、会折、会转，你就同时拿到了两个世界的钥匙。"
这一讲，我们把所有常见图形的转化过程一次讲透。
一、立体 → 平面：展开图
想象一个立体图形的表面是一层"皮"。把这张皮沿棱剪开、摊平，得到的平面图形就是它的展开图。
常见立体图形的展开图（要能画出来）：
- 正方体：6 个一样的正方形。展开图一共有 11 种，最经典的是"1-4-1"型（中间 4 个一排，上下各 1 个）。
- 长方体：6 个长方形（特殊情况有 2 个面是正方形），相对的面在展开图中隔着一个面。
- 圆柱：1 个长方形（侧面）+ 2 个一样的圆（上底、下底）。长方形的长 = 底面圆的周长。
- 圆锥：1 个扇形（侧面）+ 1 个圆（底面）。扇形的弧长 = 底面圆的周长。
- 棱柱（如三棱柱）：3 个长方形（侧面）+ 2 个一样的三角形（底面）。
- 棱锥（如四棱锥）：1 个多边形（底面）+ 几个三角形（侧面），三角形尖朝同一个点。
判一判："田"字形的 6 个正方形（2×3）能折成正方体吗？
不能。折起来后一定有两个面会重叠在同一个位置。判断展开图能否折成正方体，有一条速查口诀："一线不过四，田字和凹字，一折就报废"——中间一排超过 4 个正方形的不行，出现"田"字格或"凹"字排列的也不行。
二、平面 → 立体：折叠
展开图反过来用，就是折叠：沿虚线折，让标了同一个字母（或同一对边）的地方刚好拼在一起。折的时候抓住一条铁律：
折叠的铁律：立体图形中，相对的面永远不会相邻。展开图里隔着一个面的两个面、或"Z"字两端的面，才是相对面。
解题应用：正方体展开图中，如果"1"和"2"隔着一个面，那折成正方体后它们就是相对的面——相邻的面靠找"公共边"，相对的面靠找"隔一个"。
三、面动成体：旋转成体
点动成线，线动成面，面动成体。把一个平面图形绕着一条固定的直线（旋转轴）转一整圈，扫过的空间就是一个立体图形。
常见"面动成体"（要能对上号）：
- 长方形 绕它的一条边旋转一周 → 圆柱
- 直角三角形 绕一条直角边旋转一周 → 圆锥
- 半圆 绕直径旋转一周 → 球
- 直角梯形 绕它的直角腰旋转一周 → 圆台
想一想：一张长 8cm、宽 5cm 的纸（长方形），绕"长"所在的那条边旋转一周，得到什么？
得到一个圆柱：高是 8cm（转轴方向的边），底面半径是 5cm（另一条边扫出的圆）。如果换成绕"宽"旋转，高和半径就互换——同一个长方形能转出两种不同大小的圆柱。
为什么转轴很重要？同一个平面图形，绕不同的轴旋转，得到的立体图形完全不同。比如圆绕它的直径转是球，但一个圆环（像游泳圈剪开的样子）绕中间的轴转一周，得到的是一个"甜甜圈"——数学上叫圆环体。所以描述旋转成体时，必须说清楚"绕哪条线转"。
四、立体 → 平面：三视图
展开图是"剪开摊平"，三视图则是从三个方向给立体图形拍"影子"：
- 主视图：从正面看（正投影）；
- 左视图：从左面看；
- 俯视图：从上面看。
看见的轮廓画实线，被挡住的轮廓画虚线。
常见图形的三视图速记：
- 圆柱（竖放）：主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆
- 圆锥（竖放）：主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆
- 球：三个视图都是圆
- 正方体 / 长方体：三个视图都是正方形 / 长方形
易错点：圆锥的俯视图是圆，但别忘了圆心处还有一个点——那是锥尖的投影。俯视图画成光秃秃的圆，就丢分了。
挑战性问题
问题：一个长方形长 6cm、宽 4cm。分别绕它的"长边"和"宽边"旋转一周，得到两个圆柱。哪个圆柱的体积更大？（圆柱体积 = 底面积 × 高 = π r² h）
习题
1. 圆柱的展开图是：
A. 两个圆和一个三角形 B. 一个长方形和两个圆 C. 一个扇形和一个圆 D. 两个圆和一个长方形加一个扇形
2. 直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到的立体图形是：
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台
3. 竖放的圆锥，它的俯视图是：
A. 一个圆 B. 一个三角形 C. 带圆心的圆 D. 一个扇形
4. 下列图形中，不能折成正方体的是：
A. 1-4-1 型（中间一排 4 个正方形，上下各 1 个） B. 2-2-2 型（三排各 2 个，阶梯状错开） C. 2×3 的"田字长条"（一排 2 个，共 3 排对齐） D. 1-3-2 型（中间一排 3 个，上下各 2 个错开）
5. 半圆绕它的直径旋转一周，得到的立体图形是：
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台
本课要点总结：
- 展开（立体→平面）：正方体 6 正方形（11 种展开图）；圆柱 = 长方形 + 两圆；圆锥 = 扇形 + 圆；棱柱 = 侧长方形 + 两底面；棱锥 = 底面 + 侧面三角形
- 折叠（平面→立体）：相对的面在展开图中"隔着一个面"，折叠后永不相邻
- 旋转成体（面动成体）：长方形→圆柱；直角三角形→圆锥；半圆→球；直角梯形→圆台；绕不同的轴转，结果不同
- 三视图（立体→平面）：主视图、左视图、俯视图；看见画实线，挡住画虚线；圆锥俯视图带圆心