三角形 — 最稳定的图形

三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形。

请注意"不在同一条直线上"这个词——如果三个点排成一条直线，那它们首尾相连得到的是一条线段，不是一个三角形。

三角形里除了三条边和三个角，还有三条特别重要的线段，它们各自有独特的性质。

1. 高 — 从顶点到对面的垂线

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

每个三角形都有三条高，它们（或它们的延长线）相交于一点，这个点叫做垂心。

注意：三角形的"高"是顶点到对边所在直线的垂线段。锐角三角形的三条高都在三角形内部；而钝角三角形中，从钝角顶点引出的高在内部，从另外两个锐角顶点引出的高会落到对边的延长线上，位于三角形外部（如图中从 C 引出的高 CD）。

2. 中线 — 连接顶点和对边中点

连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线。

三条中线相交于一点，这个点叫做重心。有趣的是，重心把每条中线分成 2:1 的两段——从顶点到重心的距离是从重心到对边中点距离的两倍。

3. 角平分线 — 把角分成两等份

三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线也相交于一点，这个点叫做内心。内心到三角形三条边的距离相等——正因为如此，内心是三角形内切圆的圆心。

三角形可以按角分类，也可以按边分类。

按角分类

按边分类

给你三根小棒，长度分别是 3cm、4cm、10cm。你能把它们拼成一个三角形吗？

试试看——3cm 和 4cm 加起来才 7cm，还没有 10cm 长，根本够不着！所以不是任意三条线段都能组成三角形。

为什么？想象你从家走到学校。走直线（一条边）肯定比绕路（走另外两条边）要短——这就是"两点之间线段最短"在三角形中的体现。

这是三角形最重要的性质之一：无论三角形长什么样，三个内角加起来永远等于 180°。

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形——大的、小的、胖的、瘦的——内角和永远不变。

撕角法证明

这是一个不需要任何公式的证明方法——你甚至可以自己动手做！

拿一张纸，画一个三角形，然后把三个角撕下来，拼在一起——你会发现它们恰好拼成一个平角（180°）。

这个"撕角法"不是一个严格的数学证明，但它让你直观地感受到：三个角拼出来确实是一个平角。

平行线证明法（严格证明）

下面用平行线给出严格证明——这也是课本上的标准方法。

思路：过顶点 A 作 BC 的平行线 DE，利用"两直线平行，内错角相等"，把 ∠B 和 ∠C "搬"到顶点 A 处，三个角正好拼成一个平角。

既然三角形内角和是 180°，那四边形呢？五边形呢？

一个巧妙的思路是：把多边形拆成三角形！

小结："分割"是把图形拆开成若干部分再相加；"补充"是把图形补大再减去多出的部分。两种思路在求面积、求内角和时都非常有用。

你有没有注意过，自行车车架、屋顶的桁架、电线塔，为什么都是三角形的结构？

因为三角形具有稳定性——当三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定了，不会变形。

而四边形就不一样了——四条边长度确定后，四边形还可以"扭来扭去"，形状不固定。

三角形不只是课本上的图形，古人还用它测量了地球的大小！

公元前 240 年左右，古希腊学者埃拉托色尼（Eratosthenes）在埃及的亚历山大图书馆工作。他听说南方的赛伊尼（今天的阿斯旺）有一口深井，每年夏至正午，太阳光能直射井底——这意味着此时太阳恰好在正头顶。而在同一天的同一时刻，亚历山大城的太阳并不直射，物体会有影子。

埃拉托色尼在亚历山大城立了一根标杆，测出夏至正午时太阳光与标杆的夹角约为 7.2°，正好是圆周角 360° 的 五十分之一。

埃拉托色尼已知两城之间的距离约为 800 公里（古人用商队步测、驼队计时等方法估算），于是他算出：

这个结果与现代测量值（约 40075 公里）惊人地接近！埃拉托色尼没有卫星、没有雷达，只用了一个角度、一段距离和三角形的几何关系，就丈量了整个地球。这是人类智慧的伟大胜利。

三角形里有很多"数"与"形"的巧妙结合。最基本的结论是——三角形任意两边之和大于第三边。

也就是说，如果三角形的三边为 a、b、c，那么：

为什么呢？从"形"的角度看，两点之间直线最短。a 和 b 是从 B 走到 C 的两条路径（经 A 绕行），而 c 是从 B 直接到 C 的路径。绕路一定比直走远，所以 a + b > c。