前置知识：课件 14（三角形）、15（全等三角形）、20（轴对称）、27（旋转）

圆 — 最完美的图形

起源：车轮为什么是圆的？

你有没有想过，为什么汽车的轮子是圆形的，而不是方的或三角形的？

如果你坐过方轮子的车，你会知道：方轮子每转一圈，车身就会上下颠簸一次。但圆轮子不一样——车轮的中心到地面的距离始终不变，所以车能平稳行驶。

这个看似简单的观察，背后藏着一个深刻的数学事实：圆上任意一点到圆心的距离都相等——这就是圆的定义。

人类很早就认识了圆。考古学家发现，距今约 20000 年前的旧石器时代，人类就已经在骨头上刻出了圆形图案。古埃及人在建造金字塔时，用一根绳子和两根木桩就能画出完美的圆。古希腊人把圆视为"最完美的图形"——因为它无论从哪个角度看，都是完全对称的。

《一个数学家的叹息》中写道："圆是唯一一个在任何旋转下都保持不变的图形——它有无穷多条对称轴，是旋转对称的极致。"

今天，就让我们走进圆的世界，看看这个"最完美的图形"藏着哪些数学奥秘。

一、圆的定义：到定点距离相等

在一个平面上，有一个固定的点 O，和一条固定的长度 r。所有到点 O 的距离等于 r 的点连起来，就形成了一个圆。

圆的定义：平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆（circle）。

定点 O 叫做圆心（center）
定长 r 叫做半径（radius）
连接圆上任意两点且经过圆心的线段叫做直径（diameter），直径 = 2 × 半径

想一想：为什么圆规能画出圆？

圆规的一只脚（针尖）固定不动，就是圆心；另一只脚（笔尖）到针尖的距离保持不变，就是半径。笔尖绕一圈，画出的每一个点到针尖的距离都相等——刚好就是圆的定义！

二、弦、弧、圆心角、圆周角

认识了圆的基本结构，我们来看看圆上各种"零件"的名字。

弦与弧

弦（chord）：连接圆上任意两点的线段。最长的弦是直径。
弧（arc）：圆上任意两点之间的部分。弧用符号"⌒"表示，如 ⌒AB。
优弧：大于半圆的弧；劣弧：小于半圆的弧。如果没有特别说明，通常说的"弧"指劣弧。

圆心角与圆周角

圆心角（central angle）：顶点在圆心，两边是半径的角。如 ∠AOB。
圆周角（inscribed angle）：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。如 ∠ACB。

注意：一条弦对着两条弧（优弧和劣弧）。一条弧对着一个圆心角和无数个圆周角（顶点可以在弧所对的圆上任意位置）。

三、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦

这是圆里第一个重要定理。想象你拿一根筷子（弦）放在圆里，然后从圆心向筷子作一条垂线——这条垂线会恰好把筷子分成相等的两段。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

反过来也成立：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

证明思路（用全等三角形）：

连接 OA 和 OB。在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中：

OA = OB（都是半径）
OM = OM（公共边）

∴ Rt△OAM ≅ Rt△OBM（HL）→ AM = MB。

因为两个三角形全等，∠AOM = ∠BOM，所以对应的弧也相等。

通俗理解：垂径定理说的是——如果你从圆心向一根弦作垂线，这根垂线就像一把"对称的刀"，把弦和它所对的弧都切成相等的两半。这其实是因为圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴！

四、圆周角定理：圆周角是圆心角的一半

这是圆里最核心的定理，也是解题的"万能钥匙"。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

∠ACB = ½ ∠AOB

（其中 C 是圆上任意一点，A、B 是弧的两个端点）

圆周角定理的重要推论：

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）。反过来，90° 的圆周角所对的弦是直径。
推论 3：圆内接四边形的对角互补（和为 180°）。

推论 2 特别好用：如果题目告诉你 AB 是直径，C 是圆上任意一点，那么 ∠ACB 一定是 90°！这相当于在圆里"免费"获得了一个直角三角形，非常方便。

五、点和圆、直线和圆的位置关系

5.1 点和圆的位置关系

一个点和圆有三种可能的关系——就像你和学校的关系：你可以在学校里，也可以在学校外，还可以刚好站在校门口。

5.2 直线和圆的位置关系

直线和圆同样有三种关系——用圆心到直线的距离 d 和半径 r 来比较：

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

记住：圆的切线只有一个"秘诀"——切点处的半径 ⊥ 切线。几乎所有的切线问题都要用到这个直角关系。

六、切线长定理

从圆外一点可以向圆作两条切线。这两条切线有着有趣的性质。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

为什么 PA = PB？

连接 OA、OB。因为 PA 和 PB 是切线，所以 OA ⊥ PA，OB ⊥ PB。

在 Rt△PAO 和 Rt△PBO 中：OA = OB（都是半径），PO = PO（公共边）。

∴ Rt△PAO ≅ Rt△PBO（HL）→ PA = PB，且 ∠APO = ∠BPO。

七、正多边形和圆

圆和正多边形有着天然的联系。把圆等分，然后依次连接各分点，就得到了一个正多边形。

正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正 n 边形的中心角 = 360° ÷ n

正 n 边形的每个内角 = 180° − 360° ÷ n

中国古代算经中的"圆"——从《九章算术》到刘徽割圆术：古人很早就发现了正多边形与圆的联系——正六边形的边长恰好等于外接圆的半径。中国数学典籍《九章算术》（约成书于公元 1 世纪）"方田"章专设"圆田"术，给出圆田（圆形田地）面积的算法："半周半径相乘得积步"，即 S = ½ × 周长 × 半径，这与现代公式 S = πr² 完全一致。魏晋数学家刘徽（约公元 263 年）在此基础上创立"割圆术"——用正 6、12、24……边形不断逼近圆，"割之弥细，所失弥少"，算到正 3072 边形，得到 π ≈ 3.1416，正是"正多边形逼近圆"这一思想的伟大实践。

挑战性问题

问题：如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是圆上一点，CD ⊥ AB 于 D。已知 AB = 10，CD = 4，求 AD 和 BD 的长。

连接 AC、BC。AB 是直径，所以 ∠ACB = 90°（推论 2）。在 Rt△ACB 中，CD 是斜边 AB 上的高，可用射影定理（或相似）：CD² = AD × BD，且 AD + BD = AB = 10。

设 AD = x，则 BD = 10 − x。由 CD² = AD × BD 得 4² = x(10 − x)，即 16 = 10x − x²，x² − 10x + 16 = 0，解得 x = 2 或 x = 8。所以 AD = 2，BD = 8（或反过来）。

拓展阅读：圆周率 π 的故事

你有没有想过，为什么圆的周长公式是 C = 2πr？π 这个数到底是怎么来的？

π 的发现

古人很早就发现了一个规律：任何圆的周长除以它的直径，结果总是一个固定的数。这个数就是 π（圆周率）。

也就是说：不论圆大还是小，C ÷ d = π（约等于 3.14）。

古人如何计算 π

早在公元前 2000 年，古埃及人和巴比伦人就知道 π 大约是 3.125 或 3.16。

中国魏晋时期的数学家刘徽（约公元 263 年）发明了"割圆术"——用正多边形不断逼近圆。他算到了正 3072 边形，得到了 π ≈ 3.1416。

南北朝时期的祖冲之（公元 429–500 年）更进一步，把 π 精确到了小数点后 7 位：3.1415926 < π < 3.1415927，这个精度领先了西方近 1000 年！

π 的奇妙性质

π 是一个无限不循环小数——小数点后的数字永远不会重复
π 是无理数——不能写成两个整数的比
π 是超越数——不是任何代数方程的解
π 的前 100 位：3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679……

每年 3 月 14 日（3.14）被定为"圆周率日"（Pi Day），全世界的数学爱好者都会在这一天庆祝。

弧长与扇形面积

弧长公式：在半径为 r 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长为：

l = (nπr) / 180

扇形面积公式：

S = (nπr²) / 360 = ½lr

（其中 l 是弧长，r 是半径）

例子：一个半径为 10cm 的圆，60° 圆心角对应的弧长 = (60 × π × 10) / 180 = (10π) / 3 ≈ 10.47 cm。

对应的扇形面积 = (60 × π × 10²) / 360 = (100π) / 6 ≈ 52.36 cm²。

习题

1. 下列说法正确的是：

A. 直径是弦，弦是直径 B. 半圆是弧，弧是半圆 C. 直径是圆中最长的弦 D. 弧长相等的弧是等弧

弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦。弧长相等的弧不一定能重合。

C。直径是圆中最长的弦。A 错：弦不一定是直径；B 错：弧不一定是半圆；D 错：等弧要求能完全重合，仅弧长相等不够。

2. ⊙O 的半径为 5cm，弦 AB 的长为 8cm，则圆心 O 到弦 AB 的距离为：

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm

作 OC ⊥ AB 于 C。用垂径定理：AC = AB/2 = 4。在 Rt△OAC 中，OA = 5，AC = 4，用勾股定理求 OC。

A。由垂径定理 AC = ½AB = 4cm。在 Rt△OAC 中，OC = √(OA² − AC²) = √(25 − 16) = 3cm。

3. 如图，⊙O 中，⌒AB = ⌒AC，∠A = 40°，则 ∠B = ？

等弧对等弦，所以 AB = AC，△ABC 是等腰三角形。底角相等，内角和为 180°。

由 ⌒AB = ⌒AC 得 AB = AC，∴ △ABC 是等腰三角形，∠B = ∠C = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°。

4. 在 ⊙O 中，弦 AB 把圆周分成 1:3 两段弧，则 ⌒AB 所对的圆周角为：

A. 45° B. 90° C. 45° 或 135° D. 90° 或 270°

圆周长为 360°，分 1:3 后，劣弧为 90°，优弧为 270°。劣弧所对圆周角 = 45°，优弧所对圆周角 = 135°。

C。劣弧所对圆心角 = 360° × 1/4 = 90°，圆周角 = 45°。优弧所对圆心角 = 270°，圆周角 = 135°。弦对着两条弧，所以有两个可能的圆周角。

5. AB 是 ⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠CAB = 30°，则 ∠CBA = ？

AB 是直径 → ∠ACB = 90°（推论 2）。在 Rt△ABC 中，已知 ∠CAB = 30°，用三角形内角和。

∠CBA = 180° − 90° − 30° = 60°。

6. 圆的半径为 5，圆心到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与圆的位置关系是：

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定

比较 d 和 r：d = 3，r = 5，d < r → 相交。

C。d = 3 < r = 5，直线与圆相交，有两个交点。

7. 从圆外一点 P 向 ⊙O 引两条切线 PA 和 PB（A、B 为切点）。若 ∠APB = 60°，则 ∠AOB = ？

PA、PB 是切线 → OA ⊥ PA，OB ⊥ PB。四边形 PAOB 的内角和为 360°，其中 ∠OAP = ∠OBP = 90°。

在四边形 PAOB 中，∠OAP = ∠OBP = 90°，∠APB = 60°，∴ ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 60° = 120°。

8. 正六边形的半径为 2cm（即外接圆半径），则它的边长为：

A. 1cm B. √2 cm C. 2cm D. 2√3 cm

正六边形的中心角 = 360° ÷ 6 = 60°。连接中心和相邻两个顶点，构成一个等边三角形。

C。正六边形的中心角为 60°，加上两条半径相等，构成等边三角形，所以边长 = 半径 = 2cm。

9. 一个扇形的半径为 6cm，圆心角为 120°，则扇形的面积为：

A. 6π cm² B. 12π cm² C. 18π cm² D. 36π cm²

扇形面积公式：S = (nπr²) / 360。代入 n = 120，r = 6。

B。S = (120 × π × 6²) / 360 = (120 × π × 36) / 360 = 4320π / 360 = 12π cm²。

10. 如图，⊙O 中，弦 AB 和 CD 相交于圆内一点 P。若 ⌒AC = 80°，⌒BD = 40°，则 ∠APC = ？

圆内相交弦的夹角等于它所夹的两段弧所对圆心角之和的一半。即 ∠APC = (⌒AC + ⌒BD) / 2。

∠APC = (80° + 40°) / 2 = 60°。这个公式是圆周角定理的推广——可以把 ∠APC 看成两个圆周角的和。

本课要点总结：

圆的定义：到定点距离等于定长的所有点的集合
弦与弧：弦是连接圆上两点的线段，弧是圆上两点间的部分
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧
圆周角定理：圆周角 = 圆心角的一半。推论：直径所对圆周角 = 90°
位置关系：点和圆（内/上/外）；直线和圆（相离/相切/相交），比较 d 和 r
切线长定理：圆外一点引两条切线，切线长相等，PO 平分夹角
正多边形和圆：正 n 边形的中心角 = 360° ÷ n
弧长与扇形面积：l = nπr/180，S = nπr²/360 = ½lr

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