前置知识：课件 4（代数式与字母表示数）、课件 5（整式运算）、课件 6（因式分解与分式）
奥数挑战 — 阶段二：代数式与整式
本阶段围绕「代数式、整式运算、因式分解」出题，考察代数变形能力、乘法公式的灵活运用、因式分解的技巧等。每题都有思路提示和详细答案，建议先独立思考，实在想不出再看提示。
1. 已知 x + 1/x = 3，求 x² + 1/x² 的值。
利用完全平方公式：(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²，移项即可得到 x² + 1/x²。
(x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x²
所以 x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 3² − 2 = 9 − 2 = 7
2. 计算：2024² − 2023²（不用计算器，用平方差公式）
平方差公式：a² − b² = (a + b)(a − b)。
2024² − 2023² = (2024 + 2023)(2024 − 2023) = 4047 × 1 = 4047
3. 因式分解：x⁴ + 4
添项补全完全平方：x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 − 4x² = (x² + 2)² − (2x)²。这是 Sophie Germain 恒等式。
x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 − 4x²
= (x² + 2)² − (2x)²
= (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)
答案：(x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)
4. 已知 a + b = 5，ab = 3，求 a³ + b³ 的值。
立方和公式：a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) = (a + b)[(a + b)² − 3ab]。
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
= (a + b)[(a + b)² − 3ab]
= 5 × (5² − 3 × 3)
= 5 × (25 − 9)
= 5 × 16 = 80
5. 化简：(x² − 4)/(x² − x − 6) ÷ (x² − 2x − 8)/(x² + 3x + 2)
先将各项因式分解，除法转化为乘法，再约分。注意分母不能为零的条件。
原式 = (x² − 4)/(x² − x − 6) × (x² + 3x + 2)/(x² − 2x − 8)
= (x − 2)(x + 2)/[(x − 3)(x + 2)] × (x + 1)(x + 2)/[(x − 4)(x + 2)]
= (x − 2)/(x − 3) × (x + 1)/(x − 4)
= (x − 2)(x + 1)/[(x − 3)(x − 4)]（x ≠ −2, 3, 4, −1）
6. 已知 a² + b² + c² = ab + bc + ca，求证 a = b = c。
将等式两边乘以 2，移项后配方。每个完全平方项都必须为零。
a² + b² + c² = ab + bc + ca
两边乘以 2：2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca
移项：2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2bc − 2ca = 0
配方：(a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) = 0
(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0
因为平方数 ≥ 0，所以每一项都必须为 0：
a − b = 0，b − c = 0，c − a = 0
因此 a = b = c。
7. 计算：99 × 101 × 10001
99 = 100 − 1，101 = 100 + 1，10001 = 10000 + 1。利用平方差公式多次化简。
99 × 101 × 10001
= (100 − 1)(100 + 1) × 10001
= (100² − 1²) × 10001
= (10000 − 1) × 10001
= 9999 × 10001
= (10000 − 1)(10000 + 1)
= 10000² − 1²
= 100000000 − 1
= 99999999
8. 因式分解：x² − y² + 2x + 1
将含 x 的项分组：x² + 2x + 1 = (x + 1)²，再用平方差公式。
x² − y² + 2x + 1
= (x² + 2x + 1) − y²
= (x + 1)² − y²
= (x + 1 + y)(x + 1 − y)
答案：(x + y + 1)(x − y + 1)
9. 已知 (x + y)² = 25，(x − y)² = 9，求 xy 的值。
利用恒等式 (x + y)² − (x − y)² = 4xy。
(x + y)² − (x − y)² = 4xy
25 − 9 = 4xy
16 = 4xy
xy = 4
10. 若 a、b、c 是三角形的三边长，且 a² + b² + c² = ab + bc + ca，判断这个三角形是什么三角形。
与第 6 题类似，推出 a = b = c。三边相等说明是等边三角形。
由 a² + b² + c² = ab + bc + ca，两边乘以 2 后配方得：
(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0
所以 a = b = c。
三条边相等的三角形是 等边三角形。