前置知识：课件 7（一元一次方程）、课件 8（分式方程）、课件 9（一元二次方程）
奥数挑战 — 阶段三：方程
本阶段围绕「一元一次方程、分式方程、一元二次方程」出题，考察方程建模能力、韦达定理的灵活运用、增根的判断等。每题都有思路提示和详细答案，建议先独立思考，实在想不出再看提示。
1. 解方程：|2x − 3| = 5
绝对值方程要分两种情况讨论：2x − 3 = 5 或 2x − 3 = −5。
情况一：2x − 3 = 5 → 2x = 8 → x = 4
情况二：2x − 3 = −5 → 2x = −2 → x = −1
答案：x = 4 或 x = −1
2. 已知方程 x² + px + q = 0 的两个根分别是 2 和 −3，求 p 和 q 的值。
利用韦达定理：两根之和 = −p，两根之积 = q。
由韦达定理：
两根之和：2 + (−3) = −1 = −p → p = 1
两根之积：2 × (−3) = −6 = q
答案：p = 1，q = −6
3. 解方程：(x + 1)/(x − 2) + (x − 2)/(x + 1) = 10/3
令 t = (x + 1)/(x − 2)，则原方程变为 t + 1/t = 10/3。解出 t 后再回代求 x。注意检验增根。
令 t = (x + 1)/(x − 2)，则方程变为 t + 1/t = 10/3。
两边乘以 3t：3t² + 3 = 10t → 3t² − 10t + 3 = 0 → (3t − 1)(t − 3) = 0
t = 1/3 或 t = 3。
当 t = 3：(x + 1)/(x − 2) = 3 → x + 1 = 3x − 6 → 2x = 7 → x = 7/2
当 t = 1/3：(x + 1)/(x − 2) = 1/3 → 3x + 3 = x − 2 → 2x = −5 → x = −5/2
检验：分母 x − 2 ≠ 0 且 x + 1 ≠ 0，两个解均满足。
答案：x = 7/2 或 x = −5/2
4. 已知方程 x² − 2x − 1 = 0 的两个根是 α 和 β，求 α² + β² 的值。
用韦达定理求出 α + β 和 αβ，再利用 α² + β² = (α + β)² − 2αβ。
由韦达定理：α + β = 2，αβ = −1
α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 2² − 2 × (−1) = 4 + 2 = 6
5. 解方程：x² − |x| − 2 = 0
分两种情况：x ≥ 0 时，|x| = x；x < 0 时，|x| = −x。分别求解并验证。
情况一：x ≥ 0，则 |x| = x，方程变为 x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 或 x = −1
因为 x ≥ 0，取 x = 2。
情况二：x < 0，则 |x| = −x，方程变为 x² + x − 2 = 0
(x + 2)(x − 1) = 0 → x = −2 或 x = 1
因为 x < 0，取 x = −2。
答案：x = 2 或 x = −2
6. 小明和小红同时从 A 地出发去 B 地。小明骑车速度是 15 km/h，小红步行速度是 5 km/h。小明到 B 地后立即返回，在距离 B 地 3 km 处遇到小红。求 A、B 两地的距离。
设 A、B 距离为 d km。两人相遇时，小明走了 d + 3 km，小红走了 d − 3 km。两人所用时间相同，列出方程。
设 A、B 距离为 d km。
相遇时小明走了 d + 3 km，用时 (d + 3)/15 小时。
小红走了 d − 3 km，用时 (d − 3)/5 小时。
两人用时相同：(d + 3)/15 = (d − 3)/5
两边乘以 15：d + 3 = 3(d − 3)
d + 3 = 3d − 9
2d = 12
d = 6
答案：A、B 两地距离为 6 km
7. 已知 x₁、x₂ 是方程 2x² − 3x − 1 = 0 的两个根，求 1/x₁ + 1/x₂ 的值。
1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂)。用韦达定理求出两根之和与积。
由韦达定理：x₁ + x₂ = 3/2，x₁x₂ = −1/2
1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = (3/2)/(−1/2) = −3
8. 解方程：(x² + 1)/x + x/(x² + 1) = 5/2
令 t = (x² + 1)/x，则方程变为 t + 1/t = 5/2。注意 x ≠ 0。
令 t = (x² + 1)/x，则方程变为 t + 1/t = 5/2。
2t² + 2 = 5t → 2t² − 5t + 2 = 0 → (2t − 1)(t − 2) = 0
t = 1/2 或 t = 2。
当 t = 2：(x² + 1)/x = 2 → x² + 1 = 2x → x² − 2x + 1 = 0 → (x − 1)² = 0 → x = 1
当 t = 1/2：(x² + 1)/x = 1/2 → 2x² + 2 = x → 2x² − x + 2 = 0
判别式 Δ = (−1)² − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15 < 0，无实数解。
检验：x = 1 时，分母不为 0。
答案：x = 1
9. 已知关于 x 的方程 x² − (k + 2)x + 2k = 0 有一个根是 −1，求 k 的值和另一个根。
将 x = −1 代入方程求出 k，再解方程求出另一个根。
将 x = −1 代入方程：
(−1)² − (k + 2)(−1) + 2k = 0
1 + k + 2 + 2k = 0
3k + 3 = 0 → k = −1
代入原方程：x² − (−1 + 2)x + 2(−1) = 0 → x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
所以另一个根为 x = 2。
答案：k = −1，另一个根为 2
10. 三个连续整数，它们的平方和是 110。求这三个数。
设中间数为 n，则三个数为 n − 1、n、n + 1。列出平方和方程，化简后是一元二次方程。
设三个连续整数为 n − 1、n、n + 1。
(n − 1)² + n² + (n + 1)² = 110
n² − 2n + 1 + n² + n² + 2n + 1 = 110
3n² + 2 = 110
3n² = 108
n² = 36
n = 6 或 n = −6
当 n = 6 时，三个数为 5、6、7。
当 n = −6 时，三个数为 −7、−6、−5。
答案：5, 6, 7 或 −7, −6, −5