前置知识：课件 1、课件 2、课件 3、课件 5（自然数、分数、负数、代数式）、课件 6（整式运算·分配律与合并同类项）
一元一次方程
起源：人类为什么要发明方程？
4000 年前的古巴比伦，人们用楔形文字在泥板上刻下了这样的问题：「我把长乘宽得面积 10。问长和宽是多少？」这里的长、宽、面积，其实只是两个未知量及其乘积的方便说法。古巴比伦人已经会解出含有五个未知量的五个方程——尽管他们用文字叙述，没有符号。
同一时期，古埃及的《阿姆士纸草书》（公元前 1650 年）中记录了一个经典问题：「一个量加上自身的四分之一等于 15。」用现代数学写出来：x + x/4 = 15。阿姆士用"试位法"来解：先猜一个数，代入算，看差多少，再按比例调整。
到了公元 9 世纪，波斯数学家花拉子米（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，约 780–850 年）写了一本划时代的书——《还原与对消计算概要》。阿拉伯文书名中的"al-jabr"（还原）就是今天英语"algebra"（代数）一词的来源。花拉子米把方程解法总结成了两招：还原（把负项移到等号另一边变正）和对消（合并同类项），让解方程有了系统的方法。
又过了 700 年，法国数学家笛卡儿（1596–1650）率先把字母引入代数体系，从此我们才能写出 2n = 10 这样的简洁形式。
方程要解决的核心问题：给定一些条件，找出一个未知的数。用字母 x 代表这个未知数，写出等式，然后按规则解出 x。
一、什么是方程？
想象一架天平——这是《极简数学》里用的比喻。等号两边是平衡的。如果左边放了一个 x 和一个 3 克的砝码，右边放了 10 克：
x + 3 = 10
这个含有未知数 x 的等式，就叫方程。为了让天平保持平衡，你在一边做了什么，另一边也要做同样的事。
二、花拉子米的"还原与对消"
花拉子米把方程解法总结为两个核心操作：al-jabr（还原）和 al-muqabala（对消）。古今数学思想中解释：al-jabr 的意思是"复原"，在方程一边去掉一项就必须在另一边加上这一项使之恢复平衡；al-muqabala 的意思是"化简"，把同类项合并或从方程两边消掉相同的项。
三、解法：五步法
第 1 步：去分母——两边同时乘所有分母的最小公倍数，消掉分母。
第 2 步：去括号——用分配律展开 a(b + c) = ab + ac。
第 3 步：移项（花拉子米的"还原"）——把含 x 的项移到一边，常数移到另一边。移项要变号！因为实际上是在两边同时加减同一个数。
第 4 步：合并同类项（花拉子米的"对消"）——把同类项合成一项。
第 5 步：系数化为 1——两边同时除以 x 的系数。
方程如何取代"思考"？——把推导变成纯计算
在方程出现之前，解应用题全靠"聪明"：你得先想清楚答案大概是多少，再用"试位法"或"凑数法"一点点逼近。每道题都需要灵感和机灵的思路，换一道题就又要从头想，普通人很难学会。
有了方程之后，一切都变了：你只需要把题目里的条件翻译成等式（设未知数、列方程），剩下的就交给五步法——去分母、去括号、移项、合并、系数化为 1。这五步是机械的、固定顺序的操作，不需要任何灵感，照着做就能解出来。
换句话说，方程把"想"变成了"算"：以前需要聪明的思路才能解决的问题，现在只需要机械地执行五步法就能解出答案。这就是代数学最伟大的贡献——把"灵机一动"的难题，降维成了"按部就班"的计算。学会列方程，就等于拥有了一台"思考机器"。
去分母：两边乘 6 → 2(2x+1) - 3(x-1) = 6
去括号：4x + 2 - 3x + 3 = 6
移项：4x - 3x = 6 - 2 - 3
合并：x = 1
检验：(2×1+1)/3 - (1-1)/2 = 3/3 - 0 = 1 ✓
四、公式与证明
一元一次方程的标准形式：ax + b = 0（a ≠ 0）
解的公式：x = -b/a
证明：ax + b = 0 → ax = -b（两边减 b）→ x = -b/a（两边除以 a）
挑战性问题
问题 1：小明的妈妈给了他一些钱，让他去买苹果和橘子。苹果每斤 5 元，橘子每斤 3 元。小明买了 3 斤苹果和若干斤橘子，总共花了 27 元。他买了几斤橘子？
问题 2：花拉子米用"还原"和"对消"来解方程。你能用这两个词解释：解 3x - 5 = 2x + 3 的每一步分别对应什么操作吗？
问题 3：如果方程 ax + b = 0 中 a = 0，会发生什么？分情况讨论。
拓展阅读
花拉子米与 algebra：花拉子米的《还原与对消计算概要》被翻译成拉丁文后，书名中的 "al-jabr" 演变成了英语 "algebra"（代数）。这本书在欧洲被用作大学教材长达 500 年！
笛卡儿的符号革命：笛卡儿在《几何学》中首创用字母表末尾的字母（x, y, z）表示未知数，用字母表开头的字母（a, b, c）表示已知数。这个习惯我们一直沿用至今。
推荐阅读：《极简数学》—— 用天平比喻方程，深入浅出；《代数的历史》—— 了解代数从泥板到计算机的演变。
习题
1. 解方程：2x + 5 = 13
2. 解方程：3(x - 2) = 2x + 1
3. 解方程：(x+1)/2 - (x-2)/3 = 1
4. 小明今年 x 岁，爸爸的年龄是小明的 3 倍还多 2 岁。5 年后，爸爸的年龄正好是小明的 2 倍。求小明今年几岁？
小结
- 方程 = 含有未知数的等式，像一架天平，两边平衡
- 花拉子米总结了两大法宝：还原（移项变号）+ 对消（合并同类项），"al-jabr" 就是 algebra 的词源
- 五步法：去分母 → 去括号 → 移项变号 → 合并 → 系数化 1
- 解出 x 后一定要代入原方程检验