前置知识：课件 10（几何图形）、课件 11（直线、射线、线段）、课件 12（角）
奥数挑战 — 阶段四：几何图形初步
本阶段围绕「几何图形、直线/射线/线段、角」出题，考察线段计数、角度计算、几何图形的空间想象能力等。每题都有思路提示和详细答案，建议先独立思考，实在想不出再看提示。
1. 平面上有 6 个点，任意三点不共线。连接任意两点得到一条线段，问最多能画出多少条线段？
每两点确定一条线段，就是组合数问题：从 6 个点中任选 2 个点，即 C(6, 2)。
从 6 个点中任选 2 个点，每条线段对应一个选择。
线段数 = C(6, 2) = 6 × 5 / 2 = 15 条
2. 一个角的补角比它的余角的 3 倍还大 10°，求这个角。
补角比余角总是大 90°（因为补角 = 180°−角，余角 = 90°−角，相减得 90°）。已知补角 = 3×余角 + 10°，所以补角比余角大 2×余角 + 10°。这个差就是 90°。
补角比余角总是大 90°（补角 = 180°−角，余角 = 90°−角，相减得 90°）。
已知补角 = 3 × 余角 + 10°。
所以补角 − 余角 = (3 × 余角 + 10°) − 余角 = 2 × 余角 + 10°。
这个差就是 90°：2 × 余角 + 10° = 90°。
2 × 余角 = 80°，余角 = 40°。
这个角 = 90° − 40° = 50°。
3. 平面上有 5 条直线，任意两条都不平行，任意三条都不共点。它们最多能把平面分成多少部分？
n 条直线最多分平面数公式：1 + n(n + 1)/2。也可以递推：每增加一条直线，新增的区域数等于该直线被已有直线分成的段数。
n 条直线最多分平面数 = 1 + n(n + 1)/2
n = 5 时：1 + 5 × 6 / 2 = 1 + 15 = 16 部分
4. 已知 ∠AOB = 80°，OC 是 ∠AOB 内部的一条射线，且 ∠AOC = 30°。求 ∠BOC 的度数。
OC 在 ∠AOB 内部，所以 ∠BOC = ∠AOB − ∠AOC。
因为 OC 在 ∠AOB 内部，所以：
∠BOC = ∠AOB − ∠AOC = 80° − 30° = 50°
5. 一个正方体有 6 个面，每个面都是正方形。如果沿某些棱剪开，把这个正方体展开成一个平面图形（展开图），有多少种不同的展开图？（旋转重合的算同一种）
正方体展开图有「一四一」型（6 种）、「二三一」型（3 种）、「二二二」型（1 种）、「三三」型（1 种），共 11 种。
正方体展开图共有 11 种，分为四类：
「一四一」型：6 种（中间 4 个，上下各 1 个）
「二三一」型：3 种（中间 3 个，两边分别 2 个和 1 个）
「二二二」型：1 种（三组各 2 个）
「三三」型：1 种（两组各 3 个）
答案：11 种
6. 时钟在 3:00 到 4:00 之间，什么时候时针和分针重合？
3:00 时，时针指向 90°，分针指向 0°，两针相差 90°。分针每分钟走 6°，时针每分钟走 0.5°，分针每分钟比时针多走 5.5°。用相差的角度除以速度差，得到追上的时间。
3:00 时，时针在 90° 位置，分针在 0° 位置，两针相差 90°。
分针每分钟走 6°，时针每分钟走 0.5°。
分针每分钟比时针多走：6° − 0.5° = 5.5°。
追上需要的时间：90° ÷ 5.5° = 90 ÷ (11/2) = 180/11 分钟。
180/11 ≈ 16.36 分钟，即约 16 分 22 秒。
答案：3 点 180/11 分（约 3 点 16 分 22 秒）
7. 已知线段 AB = 10 cm，C 是 AB 上一点，且 AC : CB = 2 : 3。求 AC 和 CB 的长度。
AC : CB = 2 : 3，所以 AC = 2/(2+3) × AB，CB = 3/(2+3) × AB。
AC : CB = 2 : 3，总份数 = 2 + 3 = 5。
AC = 10 × 2/5 = 4 cm
CB = 10 × 3/5 = 6 cm
8. 三个角 ∠1、∠2、∠3 满足：∠1 与 ∠2 互余，∠2 与 ∠3 互补，且 ∠1 = 25°。求 ∠3 的度数。
互余：和为 90°；互补：和为 180°。先由 ∠1 求出 ∠2，再由 ∠2 求出 ∠3。
∠1 与 ∠2 互余：∠1 + ∠2 = 90° → 25° + ∠2 = 90° → ∠2 = 65°
∠2 与 ∠3 互补：∠2 + ∠3 = 180° → 65° + ∠3 = 180° → ∠3 = 115°
9. 平面上有 n 个点，任意三点不共线。连接任意两点得到一条线段，共有 28 条线段。求 n 是几。
从 n 个点中选 2 个点，线段数 = n × (n−1) ÷ 2 = 28。所以 n × (n−1) = 56。两个连续自然数相乘得 56，是哪两个数？
线段数 = n × (n−1) ÷ 2 = 28
所以 n × (n−1) = 56。
两个连续自然数相乘得 56：
6 × 7 = 42（太小），7 × 8 = 56（正好），8 × 9 = 72（太大）。
所以 n = 8，n−1 = 7。
答案：n = 8
10. 一个角是 45°，用放大 3 倍的放大镜看这个角，看到的角度是多少度？为什么？
角度的大小由两条边的张开程度决定，与边的长度无关。放大镜放大的是边长，不改变张开程度。
放大镜看到的角度仍然是 45°。
原因：角度的大小由两条边张开的程度决定，与边的长度无关。放大镜只放大图形的边长（线性尺寸），不会改变两边之间的夹角大小。角的度数是两边方向差的度量，不受长度变化的影响。