奥数挑战 — 阶段七：方程与不等式进阶

本阶段围绕「二元一次方程组、不等式」出题，考察消元技巧、不等式性质、数轴表示、应用题建模等。

1. 解方程组：{ x + y = 7, xy = 12 }

利用韦达定理：x 和 y 是方程 t² − 7t + 12 = 0 的两个根。或者用代入法：y = 7 − x，代入 xy = 12 解二次方程。

解为 x = 3, y = 4 或 x = 4, y = 3。

由韦达定理，x、y 是 t² − (x+y)t + xy = 0 即 t² − 7t + 12 = 0 的两个根。

因式分解：(t − 3)(t − 4) = 0，得 t = 3 或 t = 4。

所以方程组的解为 (x, y) = (3, 4) 或 (4, 3)。

2. 解不等式：|2x − 1| < 3，并把解集在数轴上表示出来。

利用绝对值不等式的性质：|A| < a（a > 0）等价于 −a < A < a。

解集为 −1 < x < 2。

|2x − 1| < 3 等价于 −3 < 2x − 1 < 3。

同时加 1：−2 < 2x < 4。

同时除以 2：−1 < x < 2。

数轴表示：在 −1 和 2 之间画空心圆圈，用线段连接。

3. 鸡兔同笼：笼子里有鸡和兔共 35 个头，94 只脚。问鸡和兔各有多少只？

设鸡 x 只，兔 y 只。头数关系：x + y = 35；脚数关系：2x + 4y = 94。

鸡 23 只，兔 12 只。

设鸡 x 只，兔 y 只，则：

① x + y = 35

② 2x + 4y = 94

由 ① × 2：2x + 2y = 70 ③

② − ③：2y = 24，y = 12。

代入 ①：x = 23。

检验：23 + 12 = 35 ✓，2×23 + 4×12 = 46 + 48 = 94 ✓。

4. 解不等式组：{ 2x − 1 > 3, 3x + 2 ≤ 14 }，并求整数解。

分别解每个不等式，然后取交集。整数解即交集内的整数值。

解集为 2 < x ≤ 4，整数解为 x = 3, 4。

解 2x − 1 > 3：2x > 4，x > 2。

解 3x + 2 ≤ 14：3x ≤ 12，x ≤ 4。

取交集：2 < x ≤ 4。整数解为 x = 3 和 x = 4。

5. 已知关于 x、y 的方程组 { 2x + 3y = k, 3x + 5y = k + 1 } 的解满足 x + y = 12。求 k 的值。

先用加减消元法解出 x、y 关于 k 的表达式，再代入 x + y = 12 求 k。或者直接对两个方程变形消元得到 x + y 与 k 的关系。

k = 14。

① × 3：6x + 9y = 3k

② × 2：6x + 10y = 2k + 2

相减：y = (2k + 2) − 3k = −k + 2。

代入 ①：2x + 3(−k + 2) = k，2x − 3k + 6 = k，2x = 4k − 6，x = 2k − 3。

由 x + y = 12：(2k − 3) + (−k + 2) = 12，k − 1 = 12，k = 13。

检验：k = 13 时，x = 2×13−3 = 23，y = −13+2 = −11，x+y = 12 ✓。

等等，让我重新验算：

① 2x + 3y = k

② 3x + 5y = k + 1

② − ①：x + 2y = 1

由 ①：(x + 2y) + x + y = 1 + 12 = k，即 1 + 12 = k，k = 13。

更巧妙的方法：② − ① 得 x + 2y = 1。又 x + y = 12，两式相减得 y = −11，代入 x + y = 12 得 x = 23。代入 ①：2×23 + 3×(−11) = 46 − 33 = 13 = k。所以 k = 13。

6. 已知 a > b > 0，比较 1/a 和 1/b 的大小。

利用不等式性质：若 a > b > 0，两边同除以 ab（正数），不等号方向不变。

1/a < 1/b。

由 a > b > 0，两边同除以正数 ab：a/(ab) > b/(ab)，即 1/b > 1/a，所以 1/a < 1/b。

直观理解：分母越大，分数值越小。a > b，所以 1/a 比 1/b 小。

7. 一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。现在甲先做 3 天，然后乙加入。问还需要多少天完成？

设总工作量为 1。甲效率 = 1/12，乙效率 = 1/18。甲先做 3 天完成 3/12 = 1/4，剩余 3/4 由甲乙合作完成。

还需要 5.4 天（或 27/5 天）。

甲效率 = 1/12，乙效率 = 1/18。

甲先做 3 天完成：3 × 1/12 = 1/4。

剩余工作量：1 − 1/4 = 3/4。

甲乙合作效率：1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36。

还需要天数：(3/4) ÷ (5/36) = (3/4) × (36/5) = 27/5 = 5.4 天。

8. 解关于 x 的不等式：ax > b（分情况讨论 a > 0、a < 0、a = 0）

不等式两边除以 a 时，需要注意 a 的正负决定不等号方向是否改变。a = 0 时，不等式变为 0 > b，需要根据 b 的值判断。

分情况讨论：

① 当 a > 0 时，x > b/a。

② 当 a < 0 时，除以负数不等号反向，x < b/a。

③ 当 a = 0 时：不等式变为 0 > b。若 b < 0，则 0 > b 恒成立，解为全体实数；若 b ≥ 0，则 0 > b 不成立，无解。

9. 已知方程组 { x + y = 3a + 1, x − y = 5a − 1 } 的解满足 x > 0 且 y < 0。求 a 的取值范围。

先解出 x、y 关于 a 的表达式，再代入 x > 0 和 y < 0 两个条件，解不等式组求 a 的范围。

a > 1。

两式相加：2x = 8a，x = 4a。

两式相减：2y = −2a + 2，y = −a + 1。

由 x > 0：4a > 0，a > 0。

由 y < 0：−a + 1 < 0，a > 1。

取交集：a > 1。

10. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为 10。如果把这个两位数的十位数字与个位数字对调，得到的新数比原数大 36。求原数。

设十位数字为 x，个位数字为 y，则原数为 10x + y，新数为 10y + x。列方程组：x + y = 10，(10y + x) − (10x + y) = 36。

原数是 37。

设十位数字为 x，个位数字为 y（x、y 为 1~9 的整数，x ≠ 0）。

① x + y = 10

② (10y + x) − (10x + y) = 36，即 9y − 9x = 36，y − x = 4。

由 ① + ②′：2y = 14，y = 7。

代入 ①：x = 3。

原数为 37，新数为 73。检验：73 − 37 = 36 ✓。