前置知识：课件 8（一元一次方程）—— 移项、去括号、合并同类项、系数化 1
不等式与不等式组
前置知识：从方程到不等式
在课件 8 中，我们学会了用等式来表示"相等"关系：天平的左边等于右边，写成 x + 3 = 10。解方程时，我们在两边同时加减乘除同一个数，天平始终平衡。
但在生活中，很多问题不是"等于"而是"大于"或"小于"。
- "妈妈给的零花钱够买一本 15 元的笔记本吗？"—— 这是在问：钱包里的钱 ≥ 15 吗？
- "身高超过 1.2 米才能买全票"—— 这是在问：身高 > 1.2 吗？
- "这次考试分数不低于 90 分"—— 这是在问：分数 ≥ 90 吗？
这一课，我们就来学习不等式—— 用 >、<、≥、≤ 来表示大小关系，并像解方程一样解出未知数的范围。
起源：人类什么时候开始比较大小的？
比较大小的意识，比等式更古老。原始人分猎物，就知道"这块肉更大"；古埃及人丈量土地，就知道"这块地比我那块大"。
但不等式作为一种数学工具，它的发展比方程晚得多。古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中就已经用到了不等式推理，比如"三角形两边之和大于第三边"。但他没有专门的符号，全用文字叙述。
符号的革命：我们现在用的 >（大于）和 <（小于）符号，是英国数学家托马斯·哈里奥特（Thomas Harriot，1560–1621）在 1631 年发明的。他也许只是觉得写"大于""小于"太麻烦，就画了两个像箭头的东西。≥ 和 ≤ 则是后来法国数学家布盖（Pierre Bouguer）在 1734 年引入的，意思是"大于或等于"和"小于或等于"。
有趣的是，哈里奥特也是第一个把不等式符号引入代数学的人。从此，人们不再说"x 比 5 大"，而是简洁地写成 x > 5。
一、什么是不等式？
不等式就是用 >、<、≥、≤ 连接两个式子，表示它们之间的大小关系。
| 符号 | 读法 | 含义 | 举例 |
|---|---|---|---|
| > | 大于 | 左边比右边大 | x > 3：x 比 3 大 |
| < | 小于 | 左边比右边小 | y < 5：y 比 5 小 |
| ≥ | 大于或等于 | 左边不小于右边 | x ≥ 3：x 至少是 3 |
| ≤ | 小于或等于 | 左边不大于右边 | y ≤ 5：y 最多是 5 |
不等式的解和方程的解不一样。方程 x + 3 = 10 只有一个解 x = 7。但不等式 x + 3 > 10 的解是 x > 7，有无数个！x 可以是 7.1、8、100、1000……只要比 7 大就行。
所以，不等式的解通常是一个范围，我们把它画在数轴上。
二、不等式的基本性质（与等式对比）
解方程时，我们在两边同时加减乘除同一个数，等式不变。不等式也有类似的规则，但有一条要特别小心！
| 操作 | 等式 | 不等式 |
|---|---|---|
| 两边加同一个数 | 方向不变 a = b → a + c = b + c | 方向不变 a > b → a + c > b + c |
| 两边减同一个数 | 方向不变 a = b → a - c = b - c | 方向不变 a > b → a - c > b - c |
| 两边乘同一个正数 | 方向不变 a = b → ac = bc | 方向不变 a > b → ac > bc（c > 0） |
| 两边除以同一个正数 | 方向不变 a = b → a/c = b/c | 方向不变 a > b → a/c > b/c（c > 0） |
| 两边乘同一个负数 | 方向不变 a = b → ac = bc | 方向反转！ a > b → ac < bc（c < 0） |
| 两边除以同一个负数 | 方向不变 a = b → a/c = b/c | 方向反转！ a > b → a/c < b/c（c < 0） |
⚠️ 重点记忆：乘除负数，不等号方向反转！
为什么？用具体的数来感受一下：
3 > 2，两边乘 -1：左边变成 -3，右边变成 -2。
但 -3 < -2（在数轴上，-3 在 -2 左边，更小）。
所以 3 > 2 变成 -3 < -2，方向反了！
口诀：加减不用愁，方向照旧走；乘除正数没事，乘除负数要回头！
三、一元一次不等式
一元一次不等式和一元一次方程很像，只不过等号变成了不等号。解法也几乎一样，只要记住乘除负数时方向反转就行。
移项：2x > 5 + 3 → 2x > 8
系数化 1：两边除以 2（正数，方向不变）→ x > 4
解集：x > 4，即所有大于 4 的数
移项：-3x ≤ 10 - 1 → -3x ≤ 9
系数化 1：两边除以 -3（负数，方向反转！）→ x ≥ -3
解集：x ≥ -3，即所有大于或等于 -3 的数
空心圆表示不包含 4，向右的线表示所有大于 4 的数
实心圆表示包含 -3，向右的线表示所有大于 -3 的数
四、一元一次不等式组
有时候一个问题需要同时满足两个不等式条件。比如："小明身高超过 1.2 米，但不超过 1.5 米"，写成不等式组就是：
x > 1.2 且 x ≤ 1.5
这组不等式的解就是两个条件的交集（公共部分）：1.2 < x ≤ 1.5。
解不等式组的方法：
- 分别解出每个不等式的解集
- 把每个解集画在数轴上
- 找出它们的公共部分（交集）
x + 2 ≤ 8
解第二个：x + 2 ≤ 8 → x ≤ 6
取交集：2 < x ≤ 6
上面两条线的重叠部分，就是下面的交集
挑战性问题
问题 1：你能证明"三角形任意两边之和大于第三边"这个不等式吗？提示：想一想"两点之间线段最短"。
问题 2：如果 a > b，那么 1/a 和 1/b 谁大？分情况讨论（a、b 的正负）。
问题 3：解不等式组并画图：
{ 3x - 7 < 2x + 1
{ 2(x - 1) ≥ x - 3
拓展阅读：用求差法比较大小
除了解不等式，还有一种更直接的比较两个数大小的方法——求差法。
如果想知道 a 和 b 谁大谁小，做一个简单的减法：
如果 a - b > 0，那么 a > b
如果 a - b = 0，那么 a = b
如果 a - b < 0，那么 a < b
这个道理听起来简单得不能再简单，但它是数学中比较大小的基本方法。很多看起来复杂的不等式证明，归根结底就是"做差看正负"。
求差：2/3 - 3/5 = 10/15 - 9/15 = 1/15
判断：1/15 > 0，所以 2/3 > 3/5 ✓
求差法的威力在于：它把"比较大小"这个难题，转化成了"判断正负"这个简单问题。在高中和大学，你会反复用到这个技巧！
习题
1. 用不等号（>、<、≥、≤）填空：
(1) -5 ___ 3 (2) 0 ___ -2 (3) -3 ___ -7 (4) |x| ___ 0
2. 解不等式，并在数轴上表示解集：3x + 1 > 10
3. 解不等式：-2x + 5 ≤ 1
4. 解不等式：2(x - 3) - 3(x + 1) > -8
5. 解不等式：(x - 1)/2 - (2x + 1)/3 ≤ 1
6. 解不等式组：
{ x - 2 > 0
{ 2x - 3 ≤ 7
7. 解不等式组：
{ 3x + 1 ≥ 2x - 3
{ 4 - x > 2x - 5
8. 用求差法比较大小：5/8 和 7/11，哪个大？
9. 小明带了 50 元去文具店，买一支钢笔花了 15 元，剩下的钱要买每本 8 元的笔记本，他最多能买几本？请用不等式解决。
10. 已知 a > b，判断下列各式是否正确（对打 ✓，错打 ✗，并说明理由）：
(1) a + 3 > b + 3 (2) -2a > -2b (3) a - b > 0 (4) a/c > b/c（c ≠ 0）
小结
- 不等式用 >、<、≥、≤ 表示大小关系，解集通常是一个范围
- 不等式的基本性质与等式类似，但乘除负数时方向反转
- 一元一次不等式解法类比方程，只需注意方向反转
- 不等式组取各解集的交集，用数轴画图一目了然
- 求差法：a - b > 0 ⇔ a > b，是数学中比较大小的基本方法