前置知识：课件 20（轴对称）、课件 21（勾股定理）、课件 22（平行四边形）
奥数挑战 — 阶段八：特殊图形与勾股定理
本阶段围绕「轴对称、勾股定理、平行四边形」出题，考察等腰三角形性质、勾股定理的应用、中位线定理、特殊四边形的判定等。
1. 已知直角三角形的两条直角边分别为 6 cm 和 8 cm。求斜边上的高。
先求斜边长（勾股定理），再用面积法：三角形面积 = (1/2)×直角边乘积 = (1/2)×斜边×斜边上的高。
斜边上的高 = 4.8 cm。
斜边 c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm。
面积 S = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm²。
又 S = (1/2) × c × h = (1/2) × 10 × h = 5h，所以 5h = 24，h = 4.8 cm。
2. 已知等腰三角形的腰长为 5 cm，底边长为 6 cm。求底边上的高。
等腰三角形底边上的高也是底边的中线，将底边平分。在由高、半底边、腰构成的直角三角形中用勾股定理。
底边上的高 = 4 cm。
底边上的高将底边平分为两段，每段 3 cm。
在直角三角形中，腰为斜边 5 cm，半底边为一直角边 3 cm，由勾股定理：h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm。
3. 在平行四边形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，∠B = 60°。求平行四边形 ABCD 的面积。
平行四边形面积 = 底 × 高 = AB × BC × sin∠B。过 A 作 BC 的垂线，在 30°-60°-90° 直角三角形中求高。
面积 = 24√3 cm²。
以 AB 为底，高 h = BC × sin60° = 8 × (√3/2) = 4√3 cm。
面积 = AB × h = 6 × 4√3 = 24√3 cm²。
（或以 BC 为底：高 = AB × sin60° = 6 × √3/2 = 3√3，面积 = 8 × 3√3 = 24√3。）
4. 已知直角三角形的三边长都是整数，且一条直角边为 12。求斜边的可能长度。
这是整数边直角三角形（勾股数）问题。已知一条直角边为 12，回忆或验证常见的含 12 的勾股数组合。
斜边的可能长度为 13、15、20、37。
已知一条直角边为 12，三边都是整数的直角三角形（勾股数）有：
(5, 12, 13)：5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓
(9, 12, 15)：9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² ✓
(12, 16, 20)：12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20² ✓
(12, 35, 37)：12² + 35² = 144 + 1225 = 1369 = 37² ✓
所以斜边可能是 13、15、20 或 37。
5. 已知矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4。在矩形所在平面上找一点 P，使得 PA + PB + PC + PD 最小。
利用三角形不等式：PA + PC ≥ AC，PB + PD ≥ BD，等号成立当且仅当 P 在对角线上。那么 P 同时在 AC 和 BD 上时，P 在对角线交点。
P 为矩形对角线的交点（中心）。
由三角形不等式：PA + PC ≥ AC，等号成立当 P 在 AC 上；PB + PD ≥ BD，等号成立当 P 在 BD 上。
所以 PA + PB + PC + PD ≥ AC + BD = 5 + 5 = 10。
当 P 同时在对角线 AC 和 BD 上，即 P 为对角线交点时，等号成立，和取最小值 10。
此时 P 的坐标为矩形中心，PA = PB = PC = PD = 2.5。
6. 在 △ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点。已知 △DEF 的面积为 5 cm²。求 △ABC 的面积。
中位线定理：连接三角形各边中点得到的小三角形（中点三角形）与原三角形相似，面积比为相似比的平方。三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形。
△ABC 的面积 = 20 cm²。
三角形三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形，△DEF 是其中一个小三角形（其余三个为 △ADF、△BDE、△CEF）。
所以 S△ABC = 4 × S△DEF = 4 × 5 = 20 cm²。
7. 已知梯形的上底为 4 cm，下底为 10 cm，两腰分别为 5 cm 和 7 cm。求梯形的高。
过上底的两个端点分别作下底的垂线，将下底分成三段。左段 + 右段 = 下底 − 上底 = 6。两个直角三角形中，高的平方分别等于 5² − 左段² 和 7² − 右段²，两者相等。利用平方差公式求左段和右段。
梯形的高 = 2√6 cm（约 4.90 cm）。
过上底两端点作下底的垂线，将下底分为三段：左段、上底 4、右段。
左段 + 右段 = 10 − 4 = 6 cm。
在两个直角三角形中，由勾股定理：
高² = 5² − 左段² = 25 − 左段²
高² = 7² − 右段² = 49 − 右段²
所以 25 − 左段² = 49 − 右段²，即 右段² − 左段² = 24。
利用平方差：右段² − 左段² = (右段 + 左段)(右段 − 左段) = 6 × (右段 − 左段) = 24。
所以 右段 − 左段 = 4。
又 右段 + 左段 = 6，所以 右段 = 5，左段 = 1。
高² = 25 − 1² = 24，高 = 2√6 cm。
8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥ AB 于 D。已知 AC = 6，BC = 8。求 CD 的长度。
用面积法：三角形的面积既可以用两直角边表示，也可以用斜边和斜边上的高表示。两者相等即可求出 CD。
CD = 4.8。
斜边 AB = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = 10。
S△ABC = (1/2) × AC × BC = (1/2) × 6 × 8 = 24。
又 S△ABC = (1/2) × AB × CD = (1/2) × 10 × CD = 5 CD。
所以 5 CD = 24，CD = 4.8。
9. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC = 10 cm，BD = 24 cm。求菱形的边长和面积。
菱形对角线互相垂直平分，用勾股定理求边长。菱形面积 = 对角线乘积的一半。
边长 = 13 cm，面积 = 120 cm²。
菱形对角线互相垂直平分，半对角线长分别为 5 cm 和 12 cm。
由勾股定理：边长 = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm。
面积 = 对角线乘积 / 2 = (10 × 24) / 2 = 120 cm²。
10. 在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，且 BE = 1/3 BC。连接 AE，交 BD 于 F。求 BF : FD 的值。
观察 △BFE 和 △DFA：对顶角相等，AD ∥ BE（正方形对边平行），两对内错角相等。所以 △BFE ∽ △DFA。相似比 = BE : AD = 1/3 : 1 = 1 : 3。
BF : FD = 1 : 3。
在正方形 ABCD 中，AD ∥ BC，所以 AD ∥ BE。
在 △BFE 和 △DFA 中：
∠BFE = ∠DFA（对顶角相等）
∠FBE = ∠FDA（内错角，AD ∥ BE）
∠BEF = ∠DAF（内错角，AD ∥ BE）
所以 △BFE ∽ △DFA（AA 相似）。
相似比 = BE : AD = (1/3 BC) : BC = 1 : 3。
因此 BF : FD = 1 : 3。