前置知识：课件 14（三角形）、15（全等三角形）、16（实数）、17（二次根式）
勾股定理 — a² + b² = c²
起源：两块大陆上的同一个发现
如果说数学里有一个定理，全世界的人都听说过，那一定是勾股定理。
古希腊：毕达哥拉斯的发现
公元前 6 世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）发现了一个惊人的规律：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和，恰好等于斜边的平方。
传说毕达哥拉斯发现这个规律后欣喜若狂，宰了一百头牛来庆祝——所以勾股定理在西方又被称为"百牛定理"。
中国：《周髀算经》的智慧
但毕达哥拉斯并不是第一个发现这个规律的人。早在他之前约 500 年，中国的《周髀算经》中就记载了周公与商高的对话：
"故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。"
翻译成现代汉语：把一根直尺折成直角，如果短直角边（勾）长 3，长直角边（股）长 4，那么斜边（弦）长就是 5。这就是著名的"勾三股四弦五"。
所以，中国人把这条定理叫做勾股定理。有趣的是，古代中国人把直角三角形中较短的直角边叫"勾"，较长的直角边叫"股"，斜边叫"弦"——这三个名字来自古代乐器"琴"的弦和弦柱。
三国时期，东吴数学家赵爽（字君卿）在为《周髀算经》作注时，绘出了著名的"弦图"，用面积法给出了勾股定理的优美证明。2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会，特意将赵爽弦图选为大会会徽——这是中国古代数学对世界文明的杰出贡献。
《数学简史》中写道："勾股定理是人类文明史上最古老的数学定理之一，它独立地出现在巴比伦、中国、印度和希腊的文明中——这说明它不是某个天才的偶然发现，而是所有文明在探索空间时必然遇到的真理。"
一、什么是勾股定理？
先来看一个最简单的例子：画一个直角三角形，两条直角边分别是 3cm 和 4cm，量一量斜边——你会发现它恰好是 5cm。
算一下：3² + 4² = 9 + 16 = 25，而 5² = 25。刚好相等！
这不是巧合。换一个直角三角形试试：直角边 5 和 12，斜边一定是 13（因为 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²）。
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
a² + b² = c²
（其中 a、b 是直角边，c 是斜边）
重要提醒：勾股定理只适用于直角三角形！对于锐角三角形或钝角三角形，这个等式不成立。
在直角三角形中，斜边是最长的边——这从 a² + b² = c² 也能看出来：c² 等于 a² 加上 b² 之后的和，肯定比单独的 a² 或 b² 大，所以 c 也最大。
二、定理的两种用法：求边长
勾股定理最常见的用途就是"知二求一"——知道直角三角形的任意两条边，就能求出第三条边。
用法一：已知两直角边，求斜边
c = √(a² + b²)
例：直角边 a = 6，b = 8，求斜边 c。
c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10。
用法二：已知斜边和一条直角边，求另一条直角边
a = √(c² − b²) 或 b = √(c² − a²)
例：斜边 c = 13，直角边 a = 5，求 b。
b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12。
常见勾股数（都是整数，记下来很有用）：
(3, 4, 5) (5, 12, 13) (6, 8, 10) (7, 24, 25) (8, 15, 17) (9, 12, 15) (9, 40, 41)
注意：(6, 8, 10) 就是把 (3, 4, 5) 的每条边都乘以 2 得到的，所以它们也是勾股数。
三、证明一：赵爽弦图（面积法）
公元 3 世纪，三国时期东吴数学家赵爽在《周髀算经》的注释中，用一幅绝妙的图证明了勾股定理。这幅图叫做"弦图"，被 2002 年国际数学家大会选为会徽。
赵爽的思路很简单：用两种不同的方法计算同一个大正方形的面积，让它们相等。
弦图的构造
取四个完全相同的直角三角形（直角边为 a 和 b，斜边为 c），把它们拼成一个大正方形。拼法是：每个直角三角形的直角顶点在大正方形的四个角上，两条直角边分别沿大正方形的边放置。这样四个斜边（弦）在大正方形内部围出一个小正方形——这个小正方形的边长恰好就是斜边 c，面积就是 c²。
赵爽弦图的巧妙之处：
大正方形面积 = (a + b)² = a² + 2ab + b²
同时也等于：4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积 = 4 × (½ab) + c² = 2ab + c²
两式相等：a² + 2ab + b² = 2ab + c²，两边减去 2ab，得 a² + b² = c²。
整个证明只用了一个思路——同一个面积用两种方法算，结果必须相等。这就是"面积法"的精髓，也是中国古代数学最擅长的证明技巧。
四、证明二：总统证法（梯形面积法）
1876 年，美国第 20 任总统詹姆斯·加菲尔德（James Garfield）在当选总统之前，给出了一个非常漂亮的勾股定理证明。他的证法只用了一个梯形，简单到连中学生都能看懂。
加菲尔德的思路
取两个完全相同的直角三角形（直角边为 a 和 b，斜边为 c）。把第一个三角形直角朝下放，第二条直角边（长 b）竖直向上；把第二个三角形旋转 180° 后紧挨第一个放置，使其直角朝下、长 a 的边竖直向上。两个三角形的斜边在中间相交，围出一个等腰直角三角形（腰长为 c）。整体的外轮廓是一个直角梯形——左右两条平行边分别为 b 和 a，上下距离（高）为 a + b。用两种方法计算梯形面积即可。
为什么中间三角形是等腰直角三角形？设原直角三角形的两个锐角为 α 和 β，则 α + β = 90°。在两条斜边的交点处，中间三角形的两个底角正好是 α 和 β（内错角相等），所以顶角 = 180° − α − β = 180° − 90° = 90°。又因两条腰都是 c，所以它是等腰直角三角形，面积 = ½c²。
加菲尔德总统后来在回忆录中写道，这个证明是他在国会任职期间，和同事们在数学讨论中"玩"出来的。他说："数学的思考让我们在政治辩论的间隙找到了纯粹的乐趣。"
五、勾股定理的逆定理：判定直角
勾股定理说的是：如果一个三角形是直角三角形，那么 a² + b² = c²。
反过来也对吗？也就是说：如果一个三角形的三边满足 a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形吗？
答案是：对！这就是勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。其中 c 所对的角是直角。
例：判断边长分别为 8、15、17 的三角形是不是直角三角形。
最长边是 17，检查：8² + 15² = 64 + 225 = 289，而 17² = 289。相等！所以是直角三角形，17 所对的角是直角。
逆定理有什么用？古代埃及人就用它来画直角！他们在地上打一个绳结，把绳子分成 3、4、5 三段，拉直后就是一个直角三角形。这样就能画出精确的直角，用来建造金字塔。中国古代匠人营造房屋时，也用类似的方法——称为"矩"，即用直角尺（曲尺）来确保墙角方正。
所以，勾股定理（正定理）用来已知直角求边长，逆定理用来已知边长判直角。两者互为"逆命题"。
六、勾股定理的几何意义：正方形面积
勾股定理不仅是代数公式，还有一个非常直观的几何解释：
直角三角形的三条边上各画一个正方形，两个小正方形的面积之和，恰好等于大正方形的面积。
这个几何解释让你"看到"勾股定理在说什么：两个小正方形拼起来，面积刚好等于那个斜着的大正方形！
挑战性问题
问题 1：赵爽弦图中，如果 a = 3，b = 4，那么中间小正方形的面积是多少？它和 c² 有什么关系？
问题 2：加菲尔德总统的梯形证明中，为什么中间那个三角形一定是等腰直角三角形？它的腰长是多少？
问题 3：一个直角三角形的两条直角边分别是 7 和 24，你能不用计算器，凭记忆说出斜边是多少吗？（提示：想想常见勾股数。）
问题 4：如果把一个直角三角形的各边都扩大 3 倍，新三角形还是直角三角形吗？a² + b² = c² 还成立吗？
拓展阅读：费马大定理 — 从勾股定理到三百年悬案
勾股定理说的是 a² + b² = c² 有无数个正整数解，比如 (3,4,5)、(5,12,13)……
1637 年，法国数学家费马（Pierre de Fermat）在读一本数学书时，在页边空白处写下了这样一段话：
"当 n > 2 时，方程 aⁿ + bⁿ = cⁿ 没有正整数解。对此，我已经找到了一个美妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下。"
费马随手一写，却让全世界数学家头疼了350 年。无数数学家前赴后继地尝试证明，始终没人成功。这个猜想被称为"费马大定理"。
直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在闭关七年之后，终于给出了完整的证明。据说他在宣布结果的那一刻，全场鸦雀无声，然后爆发出雷鸣般的掌声——一个 350 年的谜题终于被解开了。
《数学简史》中写道："费马大定理的故事告诉我们，数学中最简单的问题，有时需要最深刻的理论才能解决。它连接了勾股定理、椭圆曲线和模形式这三个看似毫不相干的领域。"
所以，勾股定理不仅是 a² + b² = c²，它还是一个更大的数学故事的起点。
习题
1. 在直角三角形中，两条直角边分别是 6 和 8，求斜边长。
2. 在直角三角形中，斜边长为 15，一条直角边长为 9，求另一条直角边长。
3. 判断下列各组数是否构成勾股数：① 10, 24, 26 ② 12, 16, 20 ③ 1, 2, 3
4. 一个梯子长 5 米，底部离墙 3 米，斜靠在墙上。梯子顶端离地面多高？
5. 一个直角三角形的三边长分别是 x、x+1、x+2（x 为正整数），且最长的边是斜边。求 x 的值。
6. 赵爽弦图中，中间小正方形的边长是什么？用 a 和 b 表示。它的面积是多少？
7. 一个三角形的三边长分别是 5、12、13。判断它是不是直角三角形，并说明理由。
8. 一个等腰直角三角形的直角边长为 1，求斜边长。这个数有什么特别之处？
9. 小明从家出发，向东走了 3 公里，再向北走了 4 公里。他离家有多远？（假设出发点、向东和向北的路径构成直角三角形。）
10. 一个长方形的长是 8cm，宽是 6cm。它的对角线长是多少？
小结
- 勾股定理：直角三角形中，a² + b² = c²（a、b 是直角边，c 是斜边）
- 起源：中国《周髀算经》"勾三股四弦五"，古希腊毕达哥拉斯"百牛定理"
- 用途：知二求一——已知两条边求第三条边
- 赵爽弦图：用四个全等直角三角形拼成大正方形，中间小正方形边长为 c，面积法证明
- 总统证法：用两个直角三角形拼成梯形，中间围出等腰直角三角形，面积法证明
- 逆定理：如果三边满足 a² + b² = c²，则是直角三角形（用于判定直角）
- 几何意义：斜边上的正方形面积 = 两直角边上的正方形面积之和
- 常见勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)