前置知识：课件 25（一次函数）
反比例函数
起源：为什么需要研究"反着变"的关系？
在上一次课中，我们学了一次函数 y = kx + b。它的特点是：x 越大，y 也跟着越大（或越小），而且变化是均匀的——每增加 1 个 x，y 就固定地增加 k。这种关系叫做"正比例关系"的推广。
但在生活中，还有很多关系是反着来的：一个量变大，另一个量反而变小，而且变得不均匀。
比如：你有一笔固定的钱去买笔，笔越贵，能买到的数量就越少。又比如：走一段固定的路程，速度越快，花的时间就越短。再比如：一个长方形的面积固定不变，长变得越大，宽就变得越小。
这些关系中，两个量的乘积总是一个固定的数。古希腊数学家早就在几何中注意到这种关系（比如矩形面积固定时，长和宽的关系），但直到 17 世纪笛卡儿坐标系诞生后，人们才画出了它的图象——竟然是一条弯弯的、分成两支的曲线，叫做"双曲线"。
这不是一条直线，而是一条永远不会碰到坐标轴的曲线。这个奇怪的性质，让反比例函数成为初中数学里最有趣也最需要想象力的函数之一。
一、什么是反比例关系？——从生活例子出发
先看几个生活中的例子，感受一下"反比例"是什么感觉：
你带了 60 元去买笔。
• 如果笔 2 元一支，你能买 60 ÷ 2 = 30 支
• 如果笔 5 元一支，你能买 60 ÷ 5 = 12 支
• 如果笔 10 元一支，你能买 60 ÷ 10 = 6 支
发现规律：单价 × 数量 = 60，永远是 60 元！
设单价为 x（元），数量为 y（支），则 y = 60 / x。
从家到学校有 1200 米。
• 如果每分钟走 60 米，需要 1200 ÷ 60 = 20 分钟
• 如果每分钟走 100 米，需要 1200 ÷ 100 = 12 分钟
• 如果每分钟走 200 米，需要 1200 ÷ 200 = 6 分钟
发现规律：速度 × 时间 = 1200，永远是 1200 米！
设速度为 x（米/分），时间为 y（分），则 y = 1200 / x。
核心发现：两个量 x 和 y，如果它们的乘积总是一个固定的数（记作 k），即 x · y = k（k ≠ 0），我们就说 x 和 y 成反比例关系。x 越大，y 越小；x 越小，y 越大。
二、反比例函数的概念与定义
反比例函数：y = k
x（k 是常数，k ≠ 0）
k 叫做比例系数。x 不能等于 0（因为分母不能为 0）。
两种等价形式：
- ① y = k / x —— 最常见的写法
- ② x · y = k —— 乘积形式，更能看出"反比例"的本质
- ③ y = k · x−1 —— 用负指数表示（以后会学到），强调 x 在分母上
注意：x 不能为 0！因为分母不能为 0，所以图象永远不会碰到 y 轴。
自变量的取值范围
对于 y = k / x：
• x ≠ 0（分母不为 0，这是铁律）
• 除此之外，x 可以取任何实数
• 同样，y 也永远不等于 0（因为 k ≠ 0，所以 k / x 永远不等于 0）
• 这意味着：图象永远不会碰到 x 轴，也永远不会碰到 y 轴
一次函数 vs 反比例函数：对比
| 一次函数 y = kx + b | 反比例函数 y = k / x | |
|---|---|---|
| x 的位置 | 在分子上（一次方） | 在分母上 |
| x 能否为 0 | 可以 | 不可以 |
| 图象形状 | 一条直线 | 两条弯弯的曲线（双曲线） |
| 变化规律 | 均匀变化 | 不均匀变化 |
| 是否过原点 | 可能过（b=0 时） | 永不过原点 |
| 与坐标轴的关系 | 会与坐标轴相交 | 永不与坐标轴相交 |
• y = 3 / x → 是 ✓（k = 3）
• y = −2 / x → 是 ✓（k = −2）
• y = 1 / (x + 1) → 不是 ✗（分母中有 x + 1，不是纯 x）
• y = x / 3 → 不是 ✗（x 在分子上，这是一次函数 y = (1/3)x）
• xy = 5 → 是 ✓（写成 y = 5 / x）
三、图象：双曲线——两支永远不碰坐标轴的曲线
反比例函数 y = k / x 的图象叫做双曲线。它和我们之前见过的直线完全不同——它由两条分开的、弯弯的曲线组成，这两条曲线叫做"两支"。
双曲线的核心特征：
- 由两个分支组成，分别位于 k 的正负号决定的象限中
- 关于原点对称：如果你把图象绕原点旋转 180°，它会和原来的图象完全重合
- 两支曲线永远不碰到 x 轴和 y 轴（x 轴和 y 轴叫做"渐近线"）
- 曲线会无限靠近坐标轴，但永远不会真正碰到——就像你永远在接近终点，但永远到不了
k > 0 时：图象在第一、三象限
当 k 是正数时，x 和 y 同号（都正或都负），所以图象在第一象限（x > 0, y > 0）和第三象限（x < 0, y < 0）。
k < 0 时：图象在第二、四象限
当 k 是负数时，x 和 y 异号，所以图象在第二象限（x < 0, y > 0）和第四象限（x > 0, y < 0）。
交互图：点击不同 k 值，观察双曲线如何变化
图：k 取不同值时双曲线的变化。k > 0 在一三象限，k < 0 在二四象限。|k| 越大，曲线离原点越远。
静态对比图：k > 0 和 k < 0 的图象
左：k = 2 > 0，图象在一三象限。右：k = −2 < 0，图象在二四象限。无论哪种情况，两支都关于原点对称，且永远不会碰到坐标轴。
画图的步骤
画反比例函数图象的方法：
① 先确定 k 的正负，判断图象在哪两个象限
② 列出 x 和 y 的对应值（多取几个点，尤其靠近 0 的地方多取几个）
③ 在坐标系中描点
④ 用光滑的曲线把点连起来（注意：不能画成折线，也不能让曲线碰到坐标轴）
k = 6 > 0，所以图象在一三象限。
列表：
x = 1 → y = 6；x = 2 → y = 3；x = 3 → y = 2；x = 6 → y = 1
x = −1 → y = −6；x = −2 → y = −3；x = −3 → y = −2；x = −6 → y = −1
x = 0.5 → y = 12；x = 0.2 → y = 30（越来越靠近 y 轴）
描点、连线，就得到一条双曲线。
四、性质：反比例函数的"脾气"
性质 1：增减性（在每一支内）
• k > 0 时：在每一支内，y 随 x 的增大而减小（从左到右，曲线下降）
• k < 0 时：在每一支内，y 随 x 的增大而增大（从左到右，曲线上升）
⚠️ 注意：必须说"在每一支内"，不能笼统地说"y 随 x 增大而减小"。因为越过 x = 0 时，y 会从负无穷跳到正无穷。
性质 2：对称性
• 双曲线关于原点对称：如果点 (a, b) 在图象上，那么 (−a, −b) 也在图象上
• 这也意味着：如果 (a, b) 满足 y = k / x，那么 (−a, −b) 也满足，因为 k / (−a) = −k / a = −b
性质 3：渐近线
• x 轴（y = 0）和 y 轴（x = 0）是双曲线的渐近线
• 曲线会无限靠近这两条线，但永远不会碰到它们
• 为什么？因为 x 不能为 0（分母不能为 0），y 也永远不能为 0（k ≠ 0）
性质 4：|k| 的影响
• |k| 越大，双曲线离原点越远（两支向外扩张）
• |k| 越小，双曲线离原点越近（两支向内收缩）
• 但无论 |k| 多大或多小，双曲线永远不会碰到坐标轴
• k = −5 < 0 → 图象在第二、四象限
• 在每一支内，y 随 x 增大而增大
• 关于原点对称
• |k| = 5，比较大，曲线离原点比较远
五、逻辑推导：待定系数法求 k
反比例函数只有一个未知数 k，所以只需要一个点的坐标就能求出解析式。
方法：设 y = k / x，把已知点 (x₀, y₀) 代入，得到 k = x₀ · y₀。
解：设 y = k / x。
代入 (2, 3)：3 = k / 2 → k = 6
所以 y = 6 / x。
解：设 y = k / x。
当 x = −4 时，y = 5 → 5 = k / (−4) → k = −20
所以 y = −20 / x。
当 x = 10 时，y = −20 / 10 = −2。
(1) 求 k 的值
(2) 判断点 B(2, −6) 和 C(−2, 6) 是否在这个函数的图象上
解：
(1) 代入 A(3, −4)：−4 = k / 3 → k = −12，所以 y = −12 / x
(2) 对于 B(2, −6)：−12 / 2 = −6，等于 −6 ✓，B 在图象上
对于 C(−2, 6)：−12 / (−2) = 6，等于 6 ✓，C 也在图象上
发现：B 和 C 关于原点对称！这验证了双曲线的对称性。
六、反比例函数与一次函数的综合
反比例函数经常和一次函数一起出现，最常见的题型是求它们的交点。
解：联立方程组：
6 / x = x + 1
两边同乘 x（x ≠ 0）：6 = x² + x
x² + x − 6 = 0
(x + 3)(x − 2) = 0
x = −3 或 x = 2
当 x = −3 时，y = −3 + 1 = −2
当 x = 2 时，y = 2 + 1 = 3
交点坐标为 (−3, −2) 和 (2, 3)。
挑战性问题
问题 1：反比例函数 y = k / x 的图象上有一点 P，它的横坐标和纵坐标是方程 t² − 5t + k = 0 的两个根。求 k 的值，并判断 P 在哪个象限。（提示：设 P 的坐标为 (a, b)，则 a 和 b 是方程的两个根，且 ab = k。利用韦达定理。）
问题 2：一次函数 y = −x + 4 与反比例函数 y = k / x 的图象只有一个交点。求 k 的值，并说明这个交点的几何意义。（提示：只有一个交点意味着什么？从方程的角度思考。）
问题 3：你有一个长方形的花园，面积是 100 平方米。你用篱笆围住它，篱笆的总长度（周长）取决于长和宽。当长和宽各是多少时，篱笆的总长度最短？用反比例函数和一次函数的知识解释。（提示：设长为 x，宽为 100/x，周长 = 2(x + 100/x)。）
拓展阅读
生活中的反比例关系：
- 速度和时间的反比例：路程固定时，速度越快，时间越短。这就是为什么高速公路上开得快能省时间——速度和时间成反比。
- 工作人数和工作时间的反比例：一项工作，人数越多，需要的时间越短。（假设每个人工作效率相同）
- 单价和数量的反比例：预算固定时，单价越贵，能买的数量越少。这就是我们开头买笔的例子。
双曲线名字的由来："双曲线"（hyperbola）这个词来自古希腊语，意思是"超出、过度"。古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥截面时发现了它——用平面去截一个圆锥，如果截面和圆锥的轴夹角小于母线与轴的夹角，截口就是双曲线。这和反比例函数的图象是同一类曲线！
为什么又叫"反比例"？对比正比例关系 y = kx（x 越大 y 越大，倍数关系），反比例关系 y = k / x 是"反着来"的——x 越大 y 越小。但注意，反比例不等于"反函数"（那是另一个概念，以后会学到）。
推荐阅读：《数学之美》——了解函数在生活中的应用；《极简数学》——坐标系和函数图象；《什么是数学》——圆锥曲线和双曲线的几何意义。
习题
1. 下列函数中，哪些是反比例函数？如果是，请指出 k 的值。
(1) y = 5 / x
(2) y = x / 5
(3) y = −3 / x
(4) xy = 8
(5) y = 1 / (2x)
(2) 不是，x 在分子上，这是一次函数 y = (1/5)x
(3) 是，k = −3
(4) 是，写成 y = 8/x，k = 8
(5) 是，y = 1/(2x) = (1/2)/x，k = 1/2
2. 已知反比例函数 y = 8 / x。
(1) 当 x = 2 时，y = ？
(2) 当 x = −4 时，y = ？
(3) 当 y = 4 时，x = ？
(2) y = 8/(−4) = −2
(3) 4 = 8/x → x = 8/4 = 2
3. 对于反比例函数 y = −6 / x：
(1) k = ？
(2) 图象在哪些象限？
(3) 在每一支内，y 随 x 的增大而增大还是减小？
(4) 图象关于什么对称？
(2) 第二象限和第四象限
(3) k < 0，在每一支内 y 随 x 的增大而增大
(4) 关于原点对称
4. 已知反比例函数的图象经过点 (3, 4)，求这个函数的解析式。
解析式：y = 12 / x
5. 已知 y 与 x 成反比例，且当 x = 2 时，y = 9。
(1) 求 y 与 x 的函数关系式
(2) 当 x = 6 时，求 y 的值
(3) 当 y = 3 时，求 x 的值
(2) 当 x = 6 时，y = 18/6 = 3
(3) 当 y = 3 时，3 = 18/x → x = 6
6. 已知点 A(2, 6) 在反比例函数 y = k / x 的图象上。
(1) 求 k 的值
(2) 点 B(3, 4)、C(−2, −6)、D(1, 12) 是否也在图象上？
(2) B(3, 4)：3×4 = 12 ✓，在图象上
C(−2, −6)：(−2)×(−6) = 12 ✓，在图象上
D(1, 12)：1×12 = 12 ✓，在图象上
全部都在图象上！
7. 请画出反比例函数 y = 4 / x 的图象简图，并标出至少四个点。
取点：(1, 4), (2, 2), (4, 1), (−1, −4), (−2, −2), (−4, −1)
描点后用光滑曲线分别在两个象限中连线。
注意：曲线不能画成折线，也不能碰到坐标轴。
8. 对于反比例函数 y = (m − 2) / x，当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。求 m 的取值范围。
即 m − 2 > 0 → m > 2
9. 反比例函数 y = 8 / x 与一次函数 y = 2x 的图象有几个交点？求出交点坐标。
当 x = 2 时，y = 2×2 = 4
当 x = −2 时，y = 2×(−2) = −4
两个交点：(2, 4) 和 (−2, −4)，关于原点对称。
10. 小明骑自行车从家到图书馆，全程 15 千米。设他的速度为 v 千米/小时，所需时间为 t 小时。
(1) 写出 t 关于 v 的函数解析式
(2) 如果小明以 10 千米/小时的速度骑行，需要多长时间？
(3) 如果小明想在 1.5 小时内到达，他至少需要骑多快？
(4) 这个函数的图象在哪两个象限？实际意义中，我们只关心哪个象限？为什么？
(2) t = 15/10 = 1.5 小时
(3) 1.5 = 15/v → v = 10 千米/小时，至少需要骑 10 千米/小时
(4) 数学上图象在一三象限（k = 15 > 0），但实际意义中 v > 0 且 t > 0，所以我们只关心第一象限的那一支。
小结
- 反比例函数：y = k / x（k ≠ 0），x 不能为 0
- 图象：双曲线，由两支曲线组成，关于原点对称，永远不碰到坐标轴
- k > 0：图象在第一、三象限，每一支内 y 随 x 增大而减小
- k < 0：图象在第二、四象限，每一支内 y 随 x 增大而增大
- 求解析式：只需要一个点，k = x · y（待定系数法）
- 与一次函数的区别：一次函数是直线（均匀变化），反比例函数是双曲线（不均匀变化，有渐近线）
- 判断点是否在图象上：看横纵坐标的乘积是否等于 k