前置知识：课件 8（一元一次方程）、课件 24（平面直角坐标系）
一次函数
起源：人类为什么要发明函数？
在数学史上，"函数"这个概念的出现，标志着人类从"研究静止的数"转向了"研究变化的规律"。
17 世纪，欧洲的科学家们开始疯狂地研究运动：行星为什么绕太阳转？炮弹飞出去后走什么路线？这些问题的共同点是——一个量变了，另一个量也跟着变。比如时间变了，炮弹的位置就变了；温度变了，气压就变了。
法国数学家笛卡儿（就是发明坐标系的那位）最先意识到，描述这种"变化关系"需要一个新工具。他把坐标系和代数结合起来，用方程来描绘曲线。后来的德国数学家莱布尼茨（微积分的发明者之一）在 1673 年正式造了"函数"（function）这个词，拉丁文原意是"执行、完成"——就像一个机器，你给它一个输入，它"执行"某种操作，然后给你一个输出。
瑞士数学家欧拉在 1734 年引入了我们熟悉的 f(x) 记法。从此，函数成了数学中最核心的概念之一，几乎所有的数学分支都在和函数打交道。
函数要解决的核心问题：如果两个量一起变化，它们之间有什么规律？能不能用一个公式把这种规律写出来？
一、什么是函数？——自动售货机的比喻
想象一台自动售货机：
出一瓶可乐
这台售货机就是一个函数：
- 你投进去的钱是"输入"（用 x 表示）
- 机器吐出来的可乐数量是"输出"（用 y 表示）
- 输入和输出之间的对应规则是：y = x ÷ 5（每 5 元出一瓶）
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y。如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，我们就说 y 是 x 的函数。x 叫做自变量，y 叫做因变量。
三个要点：
- ① 每个 x 对应唯一一个 y——这是最关键的条件！你不能投 5 元进去，一次吐可乐、一次吐橙汁，那就不叫函数了。
- ② 但不同的 x 可以对应同一个 y——比如投 5 元和投 10 元（买两瓶）得到的都是可乐，这没问题。
- ③ 函数有三种表示法：表格法（列出来）、图象法（画出来）、解析式法（写公式）。
• y = 2x + 1 → 是函数 ✓（每个 x 给出唯一 y）
• y² = x → 不是函数 ✗（比如 x = 4 时，y 可以是 2 也可以是 −2，不唯一）
• 气温随时间变化 → 是函数 ✓（每个时刻只有一个气温）
• 一个人的身高随年龄变化 → 是函数 ✓
二、正比例函数：y = kx
先从最简单的函数开始。如果售货机不收手续费，你投 0 元就得 0 瓶可乐，投的钱翻倍，可乐也翻倍——这就是正比例关系。
正比例函数：y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
k 叫做比例系数，也叫斜率。
正比例函数的图象特点：
- 图象是一条过原点 (0, 0) 的直线
- k > 0 时，直线从左到右上升（y 随 x 增大而增大），经过第一、三象限
- k < 0 时，直线从左到右下降（y 随 x 增大而减小），经过第二、四象限
- |k| 越大，直线越陡；|k| 越小，直线越平
图说：k 变化时，直线怎样旋转？
图：k 取不同值时直线的变化。k > 0 上升，k < 0 下降，|k| 越大越陡。
三、一次函数：y = kx + b
现在给售货机加一个规则：每次交易收 2 元手续费。你投 5 元，实际只买到 (5 − 2) ÷ 5 = 0.6 瓶可乐。写成公式：y = (x − 2)/5 = 0.2x − 0.4。
这个多出来的"−0.4"，让直线不再经过原点了。这就是一次函数。
一次函数：y = kx + b（k、b 是常数，k ≠ 0）
k 是斜率（控制倾斜程度），b 是截距（控制上下位置）
一次函数的图象特点：
- 图象是一条直线（所以一次函数也叫"线性函数"）
- k > 0：直线从左到右上升，y 随 x 增大而增大
- k < 0：直线从左到右下降，y 随 x 增大而减小
- b 是直线与 y 轴的交点纵坐标（即 x = 0 时，y = b）
- 直线与 x 轴的交点是 (−b/k, 0)，即解方程 kx + b = 0 得到的 x 值
- |k| 越大，直线越陡；|k| 越小，直线越平
- b > 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；b < 0 时，交于负半轴
① 列表：x = 0 → y = 1；x = 1 → y = 3；x = −1 → y = −1
② 描点：(0, 1)、(1, 3)、(−1, −1)
③ 连线：过这三个点画一条直线
④ 观察：k = 2 > 0，所以上升；b = 1 > 0，与 y 轴交于 (0, 1)
图说：b 变化时，直线怎样平移？
图：k = 2 固定，b 变化时直线上下平移。b 就是直线与 y 轴交点的纵坐标。
综合图：一次函数 y = kx + b 的完整图象
图：两条一次函数直线。y = 2x + 1（红色）k > 0 上升，y = −x + 3（蓝色）k < 0 下降。
四、逻辑推导：待定系数法
知道一条直线经过两个点，怎么求出它的解析式 y = kx + b？
这就是待定系数法——把 k 和 b 当作"待定"的未知数，用已知条件列方程解出来。
解：设 y = kx + b。
代入 (1, 3)：k + b = 3 ……①
代入 (3, 7)：3k + b = 7 ……②
② − ①：2k = 4 → k = 2
代入①：2 + b = 3 → b = 1
所以 y = 2x + 1。
总结步骤：
① 设：设 y = kx + b（k 和 b 是待定的常数）
② 列：把已知点的坐标代入，列出关于 k 和 b 的方程（组）
③ 解：解出 k 和 b
④ 写：把 k 和 b 代回解析式
斜率公式：如果一条直线经过 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 两点，那么
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)（x₁ ≠ x₂）
算出 k 之后，再代入任意一个点求出 b。
五、一次函数与方程、不等式的关系
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，这三者之间有着紧密的联系。把它们放在一起看，会更加清楚。
① 一次函数与一元一次方程
解方程 kx + b = 0，就是求一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴的交点的横坐标。
从几何上看：这条直线在哪里穿过 x 轴？
代数解：2x = 4 → x = 2
几何意义：直线 y = 2x − 4 与 x 轴交于 (2, 0)
② 一次函数与一元一次不等式
解不等式 kx + b > 0，就是求一次函数 y = kx + b 的图象在 x 轴上方时，x 的取值范围。
解不等式 kx + b < 0，就是求图象在 x 轴下方时，x 的取值范围。
代数解：2x > 4 → x > 2
几何意义：直线 y = 2x − 4 在 x 轴上方的那一段，对应的 x 范围是 x > 2
③ 两个一次函数的交点 = 方程组的解
两条直线 y = k₁x + b₁ 和 y = k₂x + b₂ 的交点坐标，就是方程组
{ y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂ }
的解。如果两条直线平行（k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂），则没有交点，方程组无解。
六、画一次函数图象的速成法
画 y = kx + b 的图象，不需要列很多点。只需要两个点就能确定一条直线：
方法一（截距法）：
① 找与 y 轴的交点：(0, b) — 这是最方便的点！
② 找与 x 轴的交点：(−b/k, 0) — 令 y = 0 解出来
③ 过这两个点画直线
方法二（一点一斜率法）：
① 先标出点 (0, b)
② 从 (0, b) 出发，向右走 1 个单位，再向上（k > 0）或向下（k < 0）走 |k| 个单位，得到第二个点
③ 过这两个点画直线
挑战性问题
问题 1：三条直线 y = x + 2、y = −2x + 5、y = 3x − 4 围成了一个三角形。这个三角形的面积是多少？（提示：先求三个交点，用坐标系中求三角形面积的方法）
问题 2：如果一条直线 y = kx + b 经过 (1, 2) 和 (m, 5)，并且与 x 轴交于点 (4, 0)，求 k、b、m 的值。你能发现什么规律？
问题 3：函数 y = 2x + 1 的图象上，是否存在一个点，使得它到 x 轴的距离等于到 y 轴的距离？如果存在，求出这个点的坐标。
拓展阅读
笛卡儿的坐标系革命：笛卡儿在《方法论》的附录《几何学》中，首次把代数和几何结合起来。他意识到，平面上每一个点都可以用一对数字 (x, y) 来表示，而一个方程 y = kx + b 就对应着平面上的一条直线。这个想法在当时是革命性的——从此几何问题可以用代数方法来解，代数问题也可以用几何方法来理解。这就是"解析几何"的诞生。
为什么叫"一次"函数？因为自变量 x 的指数是 1（一次方）。如果 x 是二次方，就是二次函数（抛物线）；如果 x 在分母上，就是反比例函数（双曲线）。一次函数是所有这些函数中最简单、最基础的一种。
斜率与速率：在物理中，如果你画"路程-时间"图，斜率就是速度。如果图是一条直线（一次函数），说明速度恒定（匀速运动）。如果图是弯曲的（不是一次函数），说明速度在变（加速或减速）。
推荐阅读：《古今数学思想》——了解函数概念的发展史；《极简数学》——用坐标系和函数理解变化；《数学简史》——笛卡儿和解析几何的故事。
习题
1. 下列关系中，y 是 x 的函数吗？请说明理由。
(1) y = 3x − 5
(2) y² = x
(3) 正方形的周长 y 与边长 x
(4) 一个人的身高 y 与他的年龄 x
(2) 不是，如 x=4 时 y=±2，不唯一
(3) 是，y=4x，每个边长对应唯一周长
(4) 是，每个年龄对应唯一身高（尽管不同年龄可能身高相同，但反过来不要求）
2. 画出正比例函数 y = −3x 的图象，并说明它经过哪些象限。
3. 对于一次函数 y = −2x + 3：
(1) 说出 k 和 b 的值
(2) 直线是上升还是下降？
(3) 直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是多少？
(2) k < 0，所以直线下降
(3) 与 y 轴交点：(0, 3)；与 x 轴交点：令 y=0，−2x+3=0 → x=1.5，即 (1.5, 0)
4. 已知 y 与 x 成正比例，且当 x = 4 时，y = 10。求 y 与 x 之间的函数解析式，并求当 x = −2 时 y 的值。
当 x = −2 时，y = 2.5 × (−2) = −5。
5. 用待定系数法：已知一次函数的图象经过点 (2, 5) 和 (−1, −1)，求这个函数的解析式。
代入 (2,5)：5 = 2×2 + b → b = 1
解析式：y = 2x + 1
6. 一次函数 y = kx + b 的图象与 y = 3x 平行，且经过点 (1, 4)。求 k 和 b 的值。
代入 (1, 4)：4 = 3×1 + b → b = 1
解析式：y = 3x + 1
7. 小明从家出发步行去学校，出发时离学校 3 千米。他每分钟走 0.08 千米。设出发 x 分钟后，离学校的距离为 y 千米。
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式
(2) 15 分钟后，小明离学校还有多远？
(3) 几分钟后小明到达学校？
(2) 当 x = 15 时，y = 3 − 0.08×15 = 3 − 1.2 = 1.8 千米
(3) 令 y = 0：3 − 0.08x = 0 → x = 37.5 分钟
8. 利用一次函数图象解不等式：2x − 4 < 0
当 x < 2 时，y < 0（图象在 x 轴下方）。
所以不等式的解为 x < 2。
9. 在同一坐标系中画出 y = x + 2 和 y = −x + 4 的图象，并求出两条直线的交点坐标。
代入 y = x + 2 → y = 3
交点坐标为 (1, 3)
10. 已知一次函数 y = kx + b，当 −2 ≤ x ≤ 3 时，对应的 y 的取值范围是 −5 ≤ y ≤ 10。求这个一次函数的解析式。（提示：需要分 k > 0 和 k < 0 两种情况讨论）
端点对应：x=−2 → y=−5；x=3 → y=10
代入得：−2k+b=−5，3k+b=10
两式相减：5k=15 → k=3，代入得 b=1
解析式：y = 3x + 1
情况二：k < 0
端点对应：x=−2 → y=10；x=3 → y=−5
代入得：−2k+b=10，3k+b=−5
两式相减：5k=−15 → k=−3，代入得 b=4
解析式：y = −3x + 4
小结
- 函数：每个 x 对应唯一一个 y。像自动售货机——输入确定，输出就确定
- 正比例函数 y = kx：过原点的直线，k 是斜率。k > 0 上升，k < 0 下降
- 一次函数 y = kx + b：一条直线，k 控制倾斜（斜率），b 控制上下位置（截距）
- 画图：两点确定一条直线，通常取与坐标轴的两个交点 (0, b) 和 (−b/k, 0)
- 待定系数法：设 y = kx + b，代入已知点列方程，解出 k 和 b
- 与方程的关系：kx + b = 0 的解 = 直线与 x 轴交点的横坐标
- 与不等式的关系：kx + b > 0 的解 = 直线在 x 轴上方部分对应的 x 范围