前置知识：课件 10（一元二次方程）、课件 24（平面直角坐标系）、课件 25（一次函数）
二次函数 — 抛物线
起源：从抛石机到银河
你扔过石头吗？扔出去的石头在空中画出一条弯弯的弧线，然后落回地面。这条弧线，就是抛物线。
古希腊人早就知道抛物线的形状。阿基米德（公元前 287–212 年）用抛物线反射镜聚焦阳光，烧毁了敌军的战船——传说而已，但原理是真的：平行于对称轴射入抛物线镜面的光线，全都会聚到一点（焦点）。
到了 17 世纪，伽利略（1564–1642 年）做了一个关键实验：他让小球从斜面上滚下，然后飞出去，发现小球的运动轨迹恰好是一条抛物线。他证明了：任何被斜着抛出的物体（忽略空气阻力），飞行路线都是抛物线。炮弹的弹道、篮球的投篮轨迹、甚至喷泉的水柱——都是二次函数的图象。
同时代的笛卡儿发明了坐标系（课件 15），把几何图形和代数方程联系了起来。从此，抛物线不再是"好看的一条弯线"，而是可以用方程 y = ax² + bx + c 精确描述的数学对象。
二次函数要解决的核心问题：生活中很多量之间的关系不是一条直线，而是一条弯曲的抛物线。何时达到最大值？何时经过零点？这些问题的答案，就藏在二次函数里。
一、什么是二次函数？
你还记得一次函数吗？y = kx + b，图象是一条直线。x 每增加 1，y 就增加 k。
现在，x 出现了平方：y = ax² + bx + c。x 每增加 1，y 的变化量不再是固定的，而是越来越快（或越来越慢）。
二次函数的定义：形如 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0（a = 0 就退化成一次函数了）。
x 是自变量，y 是因变量。x 的最高次数是 2。
为什么叫"二次"？因为最高次项是 x²（x 的二次方）。"二"指的就是次数。
简单例子：
- y = x²（a=1, b=0, c=0）——最简单的二次函数
- y = -2x² + 3x + 1（a=-2, b=3, c=1）
- y = (x-1)² = x² - 2x + 1（a=1, b=-2, c=1）
二、图象：抛物线
二次函数的图象叫做抛物线。它的形状像一个"U"（开口向上）或倒过来的"U"（开口向下）。
我们先看最简单的 y = x²，列个表：
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
注意：x = -2 和 x = 2 时，y 都是 4。x = -3 和 x = 3 时，y 都是 9。y 的值关于 x = 0 对称！
三个抛物线对比
从图中看出二次函数的几个关键特征：
- 开口方向：a > 0 时，开口向上（U 形）；a < 0 时，开口向下（倒 U 形）
- 顶点：抛物线的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）
- 对称轴：过顶点的一条竖直线，抛物线左右完全对称
- |a| 越大，开口越窄：y = 3x² 比 y = x² 更"瘦"；y = 0.5x² 比 y = x² 更"胖"
三、顶点、对称轴与最值
二次函数 y = ax² + bx + c 最重要的三个信息：
3.1 顶点坐标公式
顶点坐标：
x = -b/(2a)，y = (4ac - b²)/(4a)
这个公式是怎么来的？回忆课件 10 的配方法。把 y = ax² + bx + c 配方：
y = a(x² + (b/a)x) + c = a[x² + (b/a)x + (b/(2a))²] + c - a·(b/(2a))²
= a(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a)
这个形式叫顶点式：y = a(x - h)² + k，顶点就是 (h, k)。
对比得到：h = -b/(2a)，k = (4ac - b²)/(4a)。
a = 2，b = -8，c = 5
x = -(-8) / (2×2) = 8/4 = 2
y = (4×2×5 - (-8)²) / (4×2) = (40 - 64) / 8 = -24/8 = -3
顶点是 (2, -3)。写成顶点式：y = 2(x-2)² - 3。
3.2 对称轴
对称轴是过顶点的一条竖直线：x = -b/(2a)
为什么抛物线关于这条线对称？因为顶点式 y = a(x-h)² + k 中，把 x 替换成 h + d 和 h - d，得到的 y 值一模一样：
a(h+d - h)² + k = a(d)² + k = a(-d)² + k = a(h-d - h)² + k
所以 (h+d, y) 和 (h-d, y) 两个点关于 x = h 对称。
3.3 最值（最大值或最小值）
顶点的 y 坐标就是函数的最值：
- a > 0（开口向上）：顶点是最低点，y 有最小值 ymin = (4ac - b²)/(4a)
- a < 0（开口向下）：顶点是最高点，y 有最大值 ymax = (4ac - b²)/(4a)
直观理解：开口向上的抛物线，两边都往上走，顶点自然是最低点；开口向下的抛物线，两边都往下掉，顶点自然是最高点。
a = -1 < 0，开口向下，有最大值。
顶点 x = -20/(2×(-1)) = 10，y = -100 + 200 - 75 = 25。
售价 10 元时，利润最大，为 25 元。
四、二次函数与一元二次方程
二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和 x 轴的交点，就是方程 ax² + bx + c = 0 的根。为什么？因为 x 轴上的点 y = 0，令 y = 0 就得到了方程。
这和课件 10 的判别式 Δ = b² - 4ac 完全对应：
一句话总结：二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与 x 轴的交点个数 = 方程 ax² + bx + c = 0 的实数根的个数，完全由 Δ = b² - 4ac 决定。
五、二次函数的三种形式
| 形式 | 表达式 | 能直接看出什么？ | 什么时候用？ |
|---|---|---|---|
| 一般式 | y = ax² + bx + c | y 轴截距是 c | 已知三个点求解析式 |
| 顶点式 | y = a(x - h)² + k | 顶点 (h, k)，对称轴 x = h | 已知顶点和一个点 |
| 交点式 | y = a(x - x₁)(x - x₂) | 与 x 轴交点 x₁ 和 x₂ | 已知与 x 轴的两个交点 |
三种形式可以互相转化。一般式配方 → 顶点式；一般式因式分解 → 交点式。
顶点式：y = x² - 6x + 9 - 9 + 5 = (x-3)² - 4。顶点 (3, -4)。
交点式：y = (x-1)(x-5)。与 x 轴交于 x=1 和 x=5。
挑战性问题
问题 1：伽利略发现抛出的物体轨迹是抛物线。假设你从地面以 45° 角扔出一个球，球的高度 y（米）和水平距离 x（米）的关系是 y = -0.1x² + x。球最远能飞多少米？最高能飞多高？
问题 2：y = x² 和 y = 2x - 1 有几个交点？不用画图，用代数方法求出来。提示：交点处两个 y 相等，联立成方程。
问题 3：二次函数 y = ax² + bx + c 的图象是一条抛物线，而一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线。能不能让抛物线和直线只有一个交点？这个交点的几何意义是什么？（提示：想想"切线"的概念。）
拓展阅读
黄金分割数 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618：
黄金分割是古希腊人发现的一个神奇比例：把一条线段分成两段，使全长 / 长段 = 长段 / 短段。设长段为 1，短段为 x，则 (1+x)/1 = 1/x，化简得 x² + x - 1 = 0。解这个二次方程，正根 x = (√5 - 1)/2 ≈ 0.618，而 φ = 1/x = (1 + √5)/2 ≈ 1.618。
黄金分割出现在大自然中：向日葵的种子排列、鹦鹉螺的螺旋壳、人体比例（肚脐到脚底 / 身高 ≈ 0.618）……甚至帕特农神庙和达·芬奇的《蒙娜丽莎》都用了黄金比例。这个神秘的数字，就来自一个二次方程！
抛物线的另一个身份——反射镜：卫星电视的"锅"、手电筒的反光罩、太阳灶，都是旋转抛物面。平行于对称轴射来的信号（光线、电磁波）会被反射汇聚到焦点。这就是阿基米德传说中用镜子烧战船的原理。
推荐阅读：《从一到无穷大》——了解抛物线和圆锥曲线的故事；《数学之美》——函数在现实世界中的应用。
习题
1. 下列函数中，哪些是二次函数？如果是，写出 a、b、c 的值。
(1) y = 3x² - 2x + 1 (2) y = 5x + 3 (3) y = -x² (4) y = x² + 1/x
(2) 不是，x 的最高次数是 1，是一次函数。
(3) 是，a=-1, b=0, c=0。
(4) 不是，1/x 不是 x 的整数次幂。
2. 画出 y = x² - 2x - 3 的草图，标出顶点坐标、对称轴、与 x 轴的交点。
3. 写出以 (1, 2) 为顶点、过点 (3, 10) 的二次函数解析式。
4. 判断抛物线 y = -2x² + 8x - 5 的开口方向，并求顶点坐标和最大值。
5. 二次函数 y = x² + bx + 4 的对称轴是 x = 3，求 b 的值。
6. 不画图，判断抛物线 y = 2x² - 4x + 3 与 x 轴有几个交点。
7. 一个农民用 40 米长的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙为一边，不需篱笆）。问长和宽各为多少时，菜园面积最大？
8. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 过点 (0, 3)、(1, 0)、(3, 0)，求函数解析式。
9. 抛物线 y = x² 向下平移 3 个单位，再向右平移 2 个单位，得到的新抛物线解析式是什么？
10. 二次函数 y = x² - 2x + m 的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围。
小结
- 二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0），图象是抛物线
- a > 0 开口向上（有最小值），a < 0 开口向下（有最大值）；|a| 越大开口越窄
- 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))，对称轴：x = -b/(2a)
- 三种形式：一般式、顶点式、交点式，可互相转化
- 与一元二次方程的关系：图象与 x 轴的交点 = 方程的根；Δ 决定交点个数
- 实际应用：求最大利润、最佳尺寸、最高点等问题，本质是求二次函数的最值
- 黄金分割数 φ = (1+√5)/2 来自二次方程 x² + x - 1 = 0