前置知识：课件 2（分数——概率是分数）、课件 1 统计（数据的收集与整理）
第34课 概率初步
起源：赌徒的问题
1654 年，一位法国赌徒向数学家帕斯卡请教了一个问题：两个赌徒正在玩掷骰子的游戏，约定先赢够 3 局的人拿走全部赌金。但游戏中途被迫停止，此时甲赢了 2 局，乙赢了 1 局——赌金该怎么分才公平？
有人按已赢局数分：甲 2 局、乙 1 局，所以甲拿 2/3，乙拿 1/3。但帕斯卡觉得不对——甲只差 1 局就赢了，而乙还差 2 局，甲的优势应该更大才对。
帕斯卡写信给另一位大数学家费马。两人讨论后发现：正确的分法是看"如果继续下去，谁赢的可能性更大"。最多再玩 2 局就一定分出胜负。所有可能的结果是：
- 甲甲 → 甲赢（甲再赢 1 局就够 3 局了）
- 甲乙 → 甲赢（甲 3 局，乙 2 局，甲先到 3 局）
- 乙甲 → 甲赢（乙 2 局，甲 3 局，甲先到 3 局）
- 乙乙 → 乙赢（乙追平 3 局，甲仍 2 局）
4 种可能中，甲赢 3 种，乙赢 1 种。所以赌金应该按 3 : 1 分——甲拿 3/4，乙拿 1/4。这比按 2:1 分对甲更公平，因为甲离胜利只差一步。
帕斯卡被这个问题迷住了。他写信给费马，两人你来我往地讨论，概率论就这样诞生了。他们发现：不确定性背后，隐藏着确定的规律。虽然一次掷骰子无法预知结果，但掷很多次，结果就呈现出稳定的比例。
今天，概率论已经渗透到生活的每个角落——天气预报说"明天降雨概率 70%"，保险公司用概率计算保费，药品试验用概率判断疗效，人工智能用概率来做决策。概率帮助我们理解不确定性，做出更明智的选择。
一、确定事件与随机事件
有些事情，我们事先能确定结果；有些事情，事先无法确定结果。这就是事件的分类。
确定事件：在条件不变的情况下，结果可以事先确定的事件。
- 必然事件：一定会发生。比如"太阳从东方升起"、"一个骰子掷出的点数小于 7"。
- 不可能事件：一定不会发生。比如"太阳从西方升起"、"一个骰子掷出 7 点"。
随机事件：在条件不变的情况下，可能发生也可能不发生，事先无法确定的事件。
比如："抛一枚硬币，正面朝上"、"明天会下雨"、"掷骰子掷出 6 点"。
① 水加热到 100℃ 会沸腾（标准大气压下）——必然事件
② 买一张彩票中大奖——随机事件
③ 一个正常骰子掷出 8 点——不可能事件
④ 下周一学校会下雨——随机事件
⑤ 向上抛一块石头，它会落回地面——必然事件
注意：判断一个事件是不是确定事件，要看"在给定的条件下"。比如"水在 100℃ 沸腾"在标准大气压下是必然事件，但在高山上（气压低），水不到 100℃ 就沸腾了！
二、概率的定义
随机事件虽然不确定，但我们可以用一个数来衡量它发生的可能性大小。这个数就是概率。
P(A) = 事件 A 发生的结果数所有可能结果的总数
（前提：每种结果出现的可能性相等）
用分数来理解最简单：
- 抛一枚硬币，正面朝上的概率：P(正面) = 1/2
- 掷一个骰子，掷出 6 点的概率：P(6) = 1/6
- 掷一个骰子，掷出偶数的概率：P(偶数) = 3/6 = 1/2
概率的范围：
- 必然事件的概率 = 1（100%，一定会发生）
- 不可能事件的概率 = 0（0%，一定不会发生）
- 随机事件的概率在 0 到 1 之间（越大越可能发生）
所以概率永远满足：0 ≤ P(A) ≤ 1
三、用列举法求概率
当可能的结果不多时，我们可以把所有可能的结果全部列出来，然后数一数。这就是列举法。常用的列举法有两种：列表法和树状图。
3.1 列表法
同时掷两个骰子，两个骰子的点数之和为 7 的概率是多少？
把第一个骰子的点数（1~6）写在一行，第二个骰子的点数（1~6）写在一列，交叉处就是点数之和：
| 骰子2=1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 骰子1=1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
总共 6 × 6 = 36 种等可能的结果。其中和为 7 的有 6 种（斜线方向）。
P(和为 7) = 6/36 = 1/6
3.2 树状图
抛一枚硬币三次，求恰好两次正面朝上的概率。
每次抛硬币有两种结果：正（H）或反（T）。用树状图一层层展开：
列表法 vs 树状图：
- 列表法适合"两个因素"的情况（如两个骰子），画成表格一目了然。
- 树状图适合"多步操作"的情况（如抛三次硬币），一层层展开，不容易漏掉。
- 无论哪种方法，关键是：不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果。
四、用频率估计概率
有些情况下，我们无法直接列举所有可能的结果。比如：一个图钉扔到地上，钉尖朝上的概率是多少？新研发的疫苗有效概率是多少？
这时候，我们就要用实验——大量重复做同一个随机实验，用频率来估计概率。
频率 = 事件发生的次数 ÷ 实验总次数
当实验次数足够多时，频率会稳定在概率附近。
历史上著名的抛硬币实验：
| 实验者 | 抛掷次数 | 正面次数 | 正面频率 |
|---|---|---|---|
| 蒲丰（Buffon） | 4,040 | 2,048 | 0.5069 |
| 皮尔逊（Pearson） | 12,000 | 6,019 | 0.5016 |
| 皮尔逊（Pearson） | 24,000 | 12,012 | 0.5005 |
你看，抛的次数越多，频率越接近 0.5（理论概率）。这就是大数定律的思想：当实验次数足够大时，频率稳定于概率。
频率与概率的区别：
- 概率是理论值，是事件固有的可能性大小（比如抛硬币正面的概率就是 1/2）。
- 频率是实验值，是实际实验中出现的比例。每次实验的频率可能不同。
- 当实验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，这就是我们用频率估计概率的依据。
深入想一步：为什么"次数足够多"，频率就会稳定？
这背后的道理其实很朴素，可以用一句话概括：个别的偏差会相互抵消。
拿掷硬币来说。每次掷硬币都是独立的——这一掷的结果不影响下一掷。正面朝上的"真实概率"是 0.5，但任何一次具体投掷，要么是正面（+0.5 的偏差），要么是反面（−0.5 的偏差），绝不会恰好是 0.5。
关键在于：这些偏差正负交替出现，没有偏向哪一边的倾向。掷 10 次时，可能碰巧多出几次正面，频率变成 0.7；但继续掷下去，那些"多出来的正面"不会一直累积——后面的反面会把多余的正面"抵消"掉。
- 掷 10 次：可能 7 正 3 反，频率 0.7，偏离 0.5 有 0.2
- 掷 100 次：可能 55 正 45 反，频率 0.55，偏离 0.5 只有 0.05
- 掷 10000 次：可能 5012 正 4988 反，频率 0.5012，几乎就是 0.5
次数越多，正负偏差抵消得越彻底，频率就越接近真实概率。这就是大数定律的直觉：不是哪一次"纠正"了之前的偏差，而是大量的独立实验让偶然的波动互相消平了。
五、「百年一遇」的大雨，真的一百年才来一次吗？
新闻里常说"这场暴雨是百年一遇的"——听到这话，很多人以为：这种雨一百年才下一次，下过一次之后，接下来一百年就可以高枕无忧了。这是大错特错！
"百年一遇"的真正含义：不是"恰好每 100 年来一次"，而是"每一年发生这种强度暴雨的概率是 1%"。
换句话说，"百年一遇"是一个概率概念，不是时间表。它说的是：在任意一年里，发生这种量级降雨的可能性大约是 1/100。
5.1 这个 1% 是怎么算出来的？
气象部门会收集某个地区几十年甚至上百年的降雨记录，找出每年的最大日降雨量。然后把这些数据从小到大排好，用统计方法画出一条"概率分布曲线"——这正是上一课学过的思想：用历史数据估计概率。
比如，某城市 50 年的记录显示，日降雨量超过 200 毫米的情况只发生过 1 次。粗略估计：年超越概率 ≈ 1/50 = 2%，那就是"五十年一遇"。如果超过 250 毫米的概率是 1%，那就是"百年一遇"。
重现期 = 1 ÷ 年超越概率
概率 1% → 重现期 100 年 → "百年一遇"
5.2 概率不会"记账"
这里有个容易混淆的点：每一年的概率都是独立的，就像掷骰子一样——今年掷过了，明年还是同样的概率。
思路：先算"10 年一次都不发生"的概率 = 0.9910 ≈ 0.904，所以"至少发生一次"的概率 ≈ 1 − 0.904 = 9.6%——差不多十分之一！
所以"百年一遇"并不意味着一百年内只会来一次。事实上，在一百年的时间里，至少遇到一次"百年一遇"暴雨的概率大约是 1 − 0.99100 ≈ 63%——比"扔硬币正面朝上"的可能性还大！
5.3 气候变化让"百年一遇"越来越频繁
这里还有一个重要的问题："百年一遇"的标准不是一成不变的。
这个 1% 的概率是根据历史数据算出来的。但如果气候在变暖、极端天气在增多，那么过去"百年一遇"的暴雨，现在可能十年就来一次——因为底层概率变了。这就好比一颗骰子被悄悄换了，原来掷出 6 的概率是 1/6，现在变成了 1/3。
所以气象学家需要不断用新数据更新概率估计。近年来很多地方的"百年一遇"洪水频频发生，并不是统计出了错，而是气候变化正在改写概率的"底牌"。
一句话总结：
- "百年一遇" = 每年 1% 的概率，不是"一百年一次"。
- 每年的概率独立，不会因为今年发了大水，明年就"安全"了。
- 气候变化会改变概率，让极端天气更频繁。
六、概率计算的最基本原则：弄清"分母"是谁
概率 = 满足条件的情况数 ÷ 所有可能的情况数
这句话看起来简单，但很多人算错概率，几乎都是错在分母上——把不该算进来的算进来了，或者该算的漏掉了。关键永远是：弄清楚"所有可能的情况"到底包括哪些。
一个经典的例子：检查呈阳性，就一定患病了吗？
在年龄为 40~50 岁、无家族乳腺癌病史、本人无乳腺癌症状的每 1 000 位妇女中，就会有 8 人罹患乳腺癌。这 8 个人中有 7 个人的乳房 X 射线检查结果呈阳性。在没有患上乳腺癌的 992 人中，大约有 70 人的乳房 X 射线检查结果会错误地显示为阳性。现在有一个乳房 X 射线检查结果呈阳性的妇女，请问她实际患有乳腺癌的概率是多少？
第一步：找分母——所有"检查呈阳性"的人。
- 真正患病且阳性：7 人
- 没患病但误报阳性：70 人
- 阳性总计：7 + 70 = 77 人
第二步：找分子——其中真正患病的。
- 77 个阳性中，只有 7 人确实患病
第三步：算概率。
概率 = 7 ÷ 77 = 1/11 ≈ 9%
为什么这么低？因为乳腺癌的基数很小（1000 人中只有 8 人），即使检查很准，假阳性的人数（70）也会远超真阳性（7）。分母被 70 个假阳性撑大了，所以真正患病的比例反而很低。
核心教训：算概率时，第一步永远是问自己——"我的分母是谁？"在这个例子中，分母不是"所有 1000 人"，而是"所有检查呈阳性的人"。条件变了，分母就变了，概率就变了。
挑战性问题
问题 1：小明和小红玩一个游戏：同时掷两个骰子，如果点数之和为奇数，小明赢；如果点数之和为偶数，小红赢。这个游戏公平吗？为什么？（提示：列举出所有 36 种结果，数一数奇数和偶数各有多少种。）
问题 2：一个袋子里有 3 个红球和 2 个白球，闭上眼睛摸出两个球。摸出"一红一白"的概率是多少？摸出"两个红球"呢？（提示：给球编号，用树状图或列表法列举所有可能。）
问题 3：天气预报说"明天降雨概率 70%"。这句话到底是什么意思？小明说"明天 70% 的时间会下雨"，小红说"明天 70% 的地区会下雨"，小华说"明天有 70% 的可能性会下雨"。谁说得对？
拓展阅读
帕斯卡和费马的书信：1654 年，帕斯卡和费马通过书信讨论赌金分配问题，这些书信被认为是概率论的起点。有趣的是，他们从未见面，所有讨论都是通过信件完成的。从这些讨论中诞生了"数学期望"的概念——如果你有 50% 的概率赢 100 元，你的"期望收益"就是 50 元。保险公司就是利用这个原理来定价的：他们计算事故发生的概率，再乘以赔偿金额，得到的数字就是你应该交的保费。
概率与决策：在生活中，我们每天都在不知不觉地使用概率思维。比如：出门带不带伞？如果降雨概率 70%，带伞是明智的；如果只有 10%，不带伞可能也没关系。又比如：要不要买彩票？中头奖的概率大约是千万分之一——比被闪电击中的概率还低！了解概率，能帮你做出更理性的选择。
推荐阅读：《牛津通识读本：概率》——用通俗的语言讲清楚了概率的基本概念和日常应用；《魔鬼数学》——里面有很多关于概率和统计的有趣故事。
习题
1. 指出下列事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：
（1）从一副扑克牌中抽出一张，这张牌是黑桃
（2）367 个人中，至少有两个人的生日相同
（3）一个正常骰子掷出 1 点
（4）负数大于正数
2. 一个袋子里有 5 个球，分别标有数字 1、2、3、4、5。闭上眼睛从中摸出一个球，求：
（1）摸到奇数号码的概率
（2）摸到号码大于 3 的概率
（3）摸到号码是 6 的概率
3. 同时掷两个骰子，求两个骰子的点数相同的概率。
4. 抛一枚硬币两次，求两次都是正面朝上的概率。用树状图来解答。
5. 一个不透明的袋子里有 2 个红球和 3 个蓝球（大小、手感完全一样）。闭上眼睛摸出一个球，摸到红球的概率是多少？
6. 小明抛一枚硬币 50 次，正面朝上 28 次。请计算正面朝上的频率。这个频率恰好等于概率 1/2 吗？为什么？
7. 一个转盘被分成 8 个相等的扇形，其中 3 个涂红色、2 个涂蓝色、3 个涂绿色。转动转盘，指针停止后，停在红色区域的概率是多少？
8. 从一副去掉大小王的扑克牌（共 52 张）中随机抽一张，求：
（1）抽到红桃的概率
（2）抽到 A（Ace）的概率
（3）抽到红桃 A 的概率
9. 小明做了一个实验：抛一枚硬币 100 次，正面朝上 45 次。他得出结论说"这枚硬币正面朝上的概率是 45%"。他的说法对吗？请说明理由。
10. 一个家庭有两个孩子。已知其中一个是女孩，求另一个孩子也是女孩的概率。（假设生男生女的概率各为 1/2）
小结
- 确定事件（必然事件 + 不可能事件）vs 随机事件——区别在于结果是否事先确定
- 概率的定义：P(A) = 事件 A 发生的次数 ÷ 所有等可能结果的总数，概率永远在 0 到 1 之间
- 列举法：列表法（适合两个因素）和树状图（适合多步操作），关键是不重复、不遗漏
- 频率估计概率：大量实验后，频率稳定在概率附近——因为独立实验的偏差正负抵消，这就是大数定律的思想
- 概率 ≠ 频率：概率是理论值，频率是实验值，两者不一定相等，但实验次数越多越接近
- "百年一遇"= 每年 1% 的概率，不是"一百年才来一次"；气候变化会改变这个概率