前置知识：课件 14（三角形）、21（勾股定理）、29（相似）
锐角三角函数 — 边与角的关系
起源：尼罗河边的测量术
在古埃及，每年尼罗河泛滥之后，田地的边界都会被冲毁。法老派出的测量师（rope stretcher，拉绳人）需要重新划分土地。他们手里只有一根打了结的绳子——但他们能测量出任何一块田地的面积，甚至能计算出金字塔的高度。
他们的秘密武器是什么？直角三角形中边与角之间的固定比例关系。比如，只要知道一个锐角的大小，就能推算出三条边之间的比例。这个思想，就是三角函数的起源。
"三角学（Trigonometry）这个词源自希腊语 trigōnon（三角形）和 metron（测量）——字面意思就是'测量三角形'。"
到了公元前 2 世纪，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）编制了人类历史上第一张"弦表"——也就是最早的三角函数表。他用这张表来计算天体位置，被誉为"三角学之父"。
《古今数学思想》中写道："三角学的诞生，标志着人类从'测量具体物体'走向了'用数学关系描述世界'。"
概念与定义
一、从直角三角形说起
拿出一个直角三角形，我们来认识它的各个部分：
三个关键概念（以 ∠A 为例）：
- 斜边：直角所对的边（最长的那条，记作 c）
- 对边：∠A 所对的直角边（记作 a）
- 邻边：夹着 ∠A 的另一条直角边（记作 b）
注意：对边和邻边是相对于哪个角来说的。以 ∠A 为参考，a 是对边，b 是邻边；以 ∠B 为参考，b 是对边，a 是邻边。
二、正弦、余弦、正切
如果两个直角三角形有一个锐角相等，根据相似三角形的知识，它们的三边比例是固定的——不管三角形画得多大，这些比例都不会变。这就引出了三个最重要的比值：
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则对于锐角 A：
| 名称 | 符号 | 定义 | 记忆口诀 |
|---|---|---|---|
| 正弦 | sin A | 对边 / 斜边 = a/c | 正对斜 |
| 余弦 | cos A | 邻边 / 斜边 = b/c | 余邻斜 |
| 正切 | tan A | 对边 / 邻边 = a/b | 正对邻 |
记忆口诀：
正弦对斜，余弦邻斜，正切对邻。
例：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，AB = 5。求 sin A、cos A、tan A 和 sin B、cos B、tan B。
解：
- sin A = 对边/斜边 = BC/AB = 4/5
- cos A = 邻边/斜边 = AC/AB = 3/5
- tan A = 对边/邻边 = BC/AC = 4/3
- sin B = 对边/斜边 = AC/AB = 3/5（注意：sin B = cos A！）
- cos B = 邻边/斜边 = BC/AB = 4/5（注意：cos B = sin A！）
- tan B = 对边/邻边 = AC/BC = 3/4
发现了吗？sin A = cos B，cos A = sin B。这是因为 A + B = 90°，两个角互余。
逻辑推导
一、互余关系
从上面的例子，我们发现了什么？当 A + B = 90° 时：
sin A = cos (90° – A) cos A = sin (90° – A)
tan A = 1 / tan (90° – A)
这很容易理解：以 ∠A 为参考，对边是 a，邻边是 b；以 ∠B = 90° – A 为参考，对边变成了 b，邻边变成了 a。所以正弦和余弦互换了，正切取倒数。
二、同角三角函数的关系
从定义出发，我们还能推导出两个重要关系：
平方关系：sin²A + cos²A = (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1
sin²A + cos²A = 1
商的关系：tan A = sin A / cos A = (a/c) / (b/c) = a/b
tan A = sin A / cos A
这两个关系非常有用：已知 sin A 就能求出 cos A（用平方关系），进而求出 tan A（用商的关系）。
三、特殊角的三角函数值
有两个特殊的直角三角形，你需要记住它们的边长比例。一旦记住，30°、45°、60° 的三角函数值随手可得。
45°-45°-90°（等腰直角三角形）
三边比例：1 : 1 : √2
sin 45° = 1/√2 = √2/2
cos 45° = 1/√2 = √2/2
tan 45° = 1/1 = 1
30°-60°-90°（半个等边三角形）
三边比例：1 : √3 : 2（30° 对边最短，为 1）
sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√3 = √3/3
sin 60° = √3/2，cos 60° = 1/2，tan 60° = √3/1 = √3
一张表全记住：
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
记忆技巧：sin 30°、45°、60° = √1/2、√2/2、√3/2（分子依次是 √1、√2、√3，分母都是 2）。cos 反过来：√3/2、√2/2、√1/2。tan = sin/cos。
四、解直角三角形
"解直角三角形"就是：已知直角三角形中的部分元素（边或角），求出其余所有未知元素。
一个直角三角形共有 6 个元素：3 条边 + 3 个角（其中一个是直角 90°）。除去直角，还有 5 个"自由"元素：2 个锐角 + 3 条边。
只要知道其中 2 个元素（至少有一个是边），就能求出其余元素。
已知一边一角，求其余
例：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 10。求 BC、AC 和 ∠B。
解：
- ∠B = 90° – 30° = 60°
- sin A = BC/AB → BC = AB·sin 30° = 10 × 1/2 = 5
- cos A = AC/AB → AC = AB·cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3
已知两边，求其余
例：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 6，AC = 8。求 AB 和 ∠A、∠B。
解：
- AB = √(6² + 8²) = √100 = 10（勾股定理）
- tan A = BC/AC = 6/8 = 3/4 → ∠A ≈ 36.9°
- ∠B = 90° – ∠A ≈ 53.1°
为什么 tan A = 3/4 能得出 ∠A ≈ 36.9°？这里用到的是"反查"思想：我们已经知道 tan 30° = √3/3 ≈ 0.577，tan 45° = 1。而 3/4 = 0.75，介于 0.577 和 1 之间，说明 ∠A 在 30°~45° 之间。要精确求出角度，有两种方法：
- 查三角函数表：在专门的"正切表"中，找到 tan 值最接近 0.75 的角度，对应约为 36°52'（≈ 36.9°）。
- 用计算器反查：按计算器上的 tan⁻¹（或 arctan、inv tan）键，输入 0.75，即可得到 ∠A ≈ 36.87°，四舍五入为 36.9°。
同理，若已知 sin A = 0.6，用 sin⁻¹ 键反查可得 ∠A ≈ 36.9°（正好与本题一致，因为 sin A = BC/AB = 6/10 = 0.6）。
五、实际问题：测高与测距
三角函数最酷的应用就是不直接测量，用计算代替。你想知道一棵树有多高？不用爬上去，站在地上就能算出来。
实例：小明站在离树 20 米远的地方，用测角仪测得树顶的仰角为 30°。已知小明的眼睛离地面 1.5 米。求树高。
解：树高 = 1.5 + 20 × tan 30° = 1.5 + 20 × √3/3 ≈ 1.5 + 20 × 0.577 ≈ 1.5 + 11.55 ≈ 13.05 米
除了仰角（抬头看），还有俯角（低头看）。站在山顶看山脚的房子，视线和水平线之间的夹角就是俯角。原理完全一样，只是方向不同。
挑战性问题
问题 1：不用计算器，你能证明 sin 15° = (√6 – √2)/4 吗？
问题 2：sin A 能大于 1 吗？cos A 呢？tan A 呢？请解释原因。
问题 3：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = 3/5。求 cos A 和 tan A（不用勾股定理，直接用平方关系）。
问题 4：一艘船在海上航行，从灯塔的正东方向开始，向北偏东 30° 方向行驶了 10 海里。此时船在灯塔的什么方向？距离灯塔多远？
拓展阅读：一张古老的"三角函数表"
在计算器和电脑发明之前，人们怎么计算三角函数值呢？答案是：查表。
公元 2 世纪，古希腊天文学家托勒密（Ptolemy）在他的巨著《天文学大成》（Almagest）中，给出了一张从 0° 到 180° 每隔半度的弦表——这相当于最早的三角函数表。他花了大量篇幅描述如何用几何方法算出这些值。
到了 16 世纪，德国数学家雷蒂库斯（Rheticus）花了 12 年时间，编制了每隔 10 秒（即 1/360 度）的三角函数表——精确到 10 位小数！这在当时是一项极其浩大的计算工程。
下面是两张常用的三角函数表，点击按钮即可查看：第一张为特殊角表（必背精确值），第二张为 1°~30° 的细密数值表（4 位小数近似值，仅供查表参考）。
1°~30° 三角函数表（4 位小数近似值，仅供查表参考）
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 1° | 0.0175 | 0.9998 | 0.0175 |
| 2° | 0.0349 | 0.9994 | 0.0349 |
| 3° | 0.0523 | 0.9986 | 0.0524 |
| 4° | 0.0698 | 0.9976 | 0.0699 |
| 5° | 0.0872 | 0.9962 | 0.0875 |
| 6° | 0.1045 | 0.9945 | 0.1051 |
| 7° | 0.1219 | 0.9925 | 0.1228 |
| 8° | 0.1392 | 0.9903 | 0.1405 |
| 9° | 0.1564 | 0.9877 | 0.1584 |
| 10° | 0.1736 | 0.9848 | 0.1763 |
| 11° | 0.1908 | 0.9816 | 0.1944 |
| 12° | 0.2079 | 0.9781 | 0.2126 |
| 13° | 0.2250 | 0.9744 | 0.2309 |
| 14° | 0.2419 | 0.9703 | 0.2493 |
| 15° | 0.2588 | 0.9659 | 0.2679 |
| 16° | 0.2756 | 0.9613 | 0.2867 |
| 17° | 0.2924 | 0.9563 | 0.3057 |
| 18° | 0.3090 | 0.9511 | 0.3249 |
| 19° | 0.3256 | 0.9455 | 0.3443 |
| 20° | 0.3420 | 0.9397 | 0.3640 |
| 21° | 0.3584 | 0.9336 | 0.3839 |
| 22° | 0.3746 | 0.9272 | 0.4040 |
| 23° | 0.3907 | 0.9205 | 0.4245 |
| 24° | 0.4067 | 0.9135 | 0.4452 |
| 25° | 0.4226 | 0.9063 | 0.4663 |
| 26° | 0.4384 | 0.8988 | 0.4877 |
| 27° | 0.4540 | 0.8910 | 0.5095 |
| 28° | 0.4695 | 0.8829 | 0.5317 |
| 29° | 0.4848 | 0.8746 | 0.5543 |
| 30° | 1/2 (=0.5000) | √3/2 (=0.8660) | √3/3 (=0.5774) |
观察：在 0°~30° 范围内，角度越大，sin 越大、cos 越小、tan 越大；其中 30° 是特殊角，sin=1/2、cos=√3/2、tan=√3/3。注意小角度时（如 1°~5°），sin ≈ tan ≈ 角度（弧度值）——这是后续"小角度近似"的伏笔。
"在 17 世纪，对数被发明后，天文学家的寿命延长了一倍。"——拉普拉斯
为什么拉普拉斯这么说？因为天文学家每天要做大量的三角函数乘除运算，非常耗时。而对数将乘除变成加减，将三角函数计算大大简化。再加上精确的三角函数表，天文学家们终于不用整天埋头计算了。
今天：你只需要在计算器上按一个键，sin 37° 的结果就出来了。但下次按这个键的时候，不妨想一想：为了这个瞬间的答案，人类走了两千年的路。
推荐阅读：《三角之美——正弦、余弦和正切的故事》（Eli Maor 著），这是一本用故事讲述三角函数历史的精彩著作。
中国古代的勾股测量术
三角函数虽起源于古希腊，但中国古人对直角三角形边角关系的研究同样源远流长。早在公元前 1 世纪成书的《周髀算经》中，就记载了"勾三股四弦五"的勾股定理，并利用立表测影的方法测量太阳高度——这正是三角函数测高术的中国版本。
三国时期数学家刘徽（约 225—295 年）在为《九章算术》作注时，系统发展了勾股测量的理论。《九章算术》第九章"勾股"中收录了大量利用直角三角形边长比例进行测量的题目，例如：
"今有山居木西，不知其高。人立木东三丈，望木末，适与山峰斜平。人去木二十一里，退行一里，木去山十里。问山高几何？"——这类"退步测远"问题，本质上就是利用相似直角三角形的边角比例（即正切）来推算未知高度或距离，与西方用 tan α = h/d 测高的原理完全一致。
刘徽在注中还提出了"重差术"——通过两次测量（不同距离测同一目标的高度角），利用差值计算远处目标的高度。这种方法比单次测量更精确，是三角测量术的精彩应用。他的著作《海岛算经》就是专门论述重差测量的专著，其中"望海岛"一题堪称中国古代三角测量的经典。
可以说，勾股之术是中国古人对三角学最早的贡献——他们虽未使用"sin、cos、tan"这些符号，却已熟练运用直角三角形的边角比例来解决实际的测高、测远问题。
习题
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3。求 sin A、cos A、tan A。
2. 求出下列各式的值：
(1) sin 30° + cos 60°
(2) tan 45° – sin 90°（提示：sin 90° = 1）
(3) sin²45° + cos²45°
3. 已知 sin A = 5/13，∠A 为锐角。求 cos A 和 tan A。
4. 比较大小：sin 30° 和 sin 45°；cos 30° 和 cos 45°；tan 30° 和 tan 45°。你能发现什么规律？
5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AC = 6。求 BC 和 AB。
6. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，tan A = 2，BC = 4。求 AC 和 AB。
7. 一架梯子长 5 米，斜靠在墙上，梯子与地面夹角为 60°。梯子顶端离地面多高？梯子底端离墙多远？
8. 小明放风筝，线长 50 米，线与地面夹角为 30°。假设线是拉直的，风筝离地面多高？（忽略小明身高）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. sin A 的值随 ∠A 的增大而减小
B. cos A 的值可以大于 1
C. tan A = sin A · cos A
D. 在 Rt△ABC 中，sin A = cos B
10. 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E。若 AC = 6，求 DE 的长。
小结
- 正弦、余弦、正切是直角三角形中边与角的比值，它们只取决于锐角的大小，与三角形大小无关（相似原理）
- 记忆口诀：正弦对斜，余弦邻斜，正切对邻
- 重要关系：sin²A + cos²A = 1；tan A = sin A / cos A；sin A = cos(90° – A)
- 特殊角必背：30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值——它们来自两个特殊的直角三角形
- 解直角三角形：已知一边一角（或两边），用三角函数和勾股定理求出所有未知元素
- 实际应用：测高（仰角）、测距——不直接量，用算的！