前置知识：课件 1（数据收集与整理）、课件 2（数据分析）、课件 3（概率初步）
模拟考试 — 统计与概率
⏱ 时间：30 分钟 | ✅ 判断题 10 题 | 🔘 单选题 10 题 | ☑️ 多选题 5 题 | ✏️ 其他题型 5 题 | 共 30 题
一、判断题（每题 1 分，共 10 分）
1. 普查和抽样调查是收集数据的两种基本方式。
普查是对全体对象进行调查，抽样调查是从总体中抽取部分样本进行调查。这是两种基本的数据收集方式。
✅ 正确。普查（全面调查）和抽样调查是数据收集的两种基本方式。
2. 中位数一定等于数据中的某个数。
当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，可能不是原数据中的数。例如 {1, 2, 3, 4} 的中位数是 (2+3)/2 = 2.5。
❌ 错误。当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，可能不在原数据中。
3. 方差越小，数据越稳定。
方差衡量数据偏离平均数的程度。方差越小，数据越集中在平均数附近，波动越小，越稳定。
✅ 正确。方差反映数据的离散程度，方差越小，数据越集中、越稳定。
4. 掷一枚硬币，正面朝上的概率是 1/2，所以掷两次一定有一次正面朝上。
概率是大量重复试验中事件发生的频率的稳定值，不能用来预测单次或少数几次试验的确定结果。掷两次可能都是反面。
❌ 错误。概率 1/2 是大量试验的频率趋势，不保证具体某两次一定有一次正面。掷两次可能全是反面（概率 1/4）。
5. 平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量。
平均数、中位数、众数都是用来描述一组数据"中心位置"的统计量，属于集中趋势的度量。
✅ 正确。平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量。
6. 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0。
概率的取值范围是 0 ≤ P ≤ 1。必然事件一定发生，概率为 1；不可能事件一定不发生，概率为 0。
✅ 正确。P(必然事件) = 1，P(不可能事件) = 0，任何事件的概率在 0 到 1 之间。
7. 一组数据的众数只有一个。
众数是出现次数最多的数据。如果多个数据出现次数相同且都是最多，则它们都是众数。如 {1, 1, 2, 2, 3} 有两个众数 1 和 2。
❌ 错误。一组数据可以有多个众数（如 {1, 1, 2, 2, 3} 的众数是 1 和 2），也可能没有众数（每个数据出现次数都相同）。
8. 扇形统计图可以清楚地表示各部分数量与总数之间的关系。
扇形统计图用扇形的圆心角大小表示各部分所占的百分比，直观展示部分与整体的关系。
✅ 正确。扇形统计图用扇形面积（圆心角）表示各部分占总体的百分比，直观展示部分与整体的关系。
9. 从一副扑克牌中抽到大王的概率是 1/54。
一副标准扑克牌共 54 张（含大小王），大王只有 1 张。等可能条件下，P(抽到大王) = 1/54。
✅ 正确。一副扑克牌 54 张，大王只有 1 张，P = 1/54。
10. 加权平均数中，权重越大，对应的数据对平均数的影响越大。
加权平均数 = (x₁w₁ + x₂w₂ + …)/(w₁ + w₂ + …)，权重 w 越大，对应的数据 x 在平均数中的占比越大。
✅ 正确。权重越大，该数据在加权平均数中所占的比重越大，对结果的影响越大。
二、单选题（每题 2 分，共 20 分）
11. 数据 3, 5, 2, 8, 2, 7 的中位数是（ ）
先排序：2, 2, 3, 5, 7, 8。共 6 个数据（偶数），中位数是第 3 和第 4 个数的平均数：(3 + 5)/2 = 4。
答案：B。排序后为 2, 2, 3, 5, 7, 8，中位数 = (3 + 5)/2 = 4。
12. 一个袋子里有 3 个红球和 2 个白球，随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
总球数 = 3 + 2 = 5，红球有 3 个。P(红球) = 红球数/总球数 = 3/5。
答案：C。P(红球) = 3/5。
13. 数据 2, 4, 4, 6, 4, 8 的众数是（ ）
统计各数出现次数：2 出现 1 次，4 出现 3 次，6 出现 1 次，8 出现 1 次。4 出现次数最多。
答案：B。4 出现了 3 次，出现次数最多，是众数。
14. 掷一个骰子，点数为偶数的概率是（ ）
骰子有 6 个面，点数为 1~6。偶数点数有 2, 4, 6 共 3 个。P(偶数) = 3/6 = 1/2。
答案：C。偶数点有 2, 4, 6 共 3 个，P = 3/6 = 1/2。
15. 某班 5 名学生的数学成绩为 85, 90, 92, 88, 95，则平均分是（ ）
平均数 = (85 + 90 + 92 + 88 + 95)/5 = 450/5 = 90。
答案：C。(85 + 90 + 92 + 88 + 95)/5 = 450/5 = 90。
16. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A 是必然事件（每天都会发生）；C 是必然事件（数学真理）；D 是必然事件（重力作用）；B 明天可能下雨也可能不下雨，是随机事件。
答案：B。明天是否下雨是不确定的，属于随机事件。A、C、D 都是必然事件。
17. 一个袋子里有 5 个红球、3 个蓝球、2 个绿球，摸到蓝球的概率是（ ）
总球数 = 5 + 3 + 2 = 10，蓝球 3 个。P(蓝球) = 3/10。
答案：B。P(蓝球) = 3/10。
18. 下列统计图中，最适合表示气温变化趋势的是（ ）
折线统计图用线段连接各数据点，能直观展示数据随时间的变化趋势（上升还是下降）。
答案：C。折线统计图最擅长表示数据的变化趋势。
19. 数据 1, 3, 5, 7, 9 的方差与数据 11, 13, 15, 17, 19 的方差相比（ ）
第二组数据 = 第一组数据 + 10。方差衡量的是数据偏离平均数的程度，整体加一个常数不改变方差。
答案：C。第二组数据是第一组数据每个加 10，方差不变，两组方差相等。
20. 同时掷两枚硬币，两枚都正面朝上的概率是（ ）
用列表法或树状图：共有 4 种等可能结果：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)。两枚都正面的只有 1 种，P = 1/4。
答案：C。共有 4 种等可能结果，只有 (正, 正) 满足，P = 1/4。
三、多选题（每题 3 分，共 15 分）
21. 下列统计图中，能直观表示数据变化趋势的有（ ）
折线统计图用线段连接数据点，最能反映变化趋势。条形统计图主要用于比较数量大小。扇形统计图展示比例。直方图展示分布。
答案：A。折线统计图最能直观表示数据的变化趋势。条形图用于比较，扇形图展示比例，直方图展示分布。
22. 下列事件中，属于必然事件的有（ ）
A: 袋中只有红球，摸出红球是必然的；B: 骰子点数 1~6 都大于 0，是必然事件；C: 明天天气不确定，是随机事件；D: 三角形内角和一定是 180°，是必然事件。
答案：ABD。A 必然，B 必然，D 必然。C 是随机事件，天气不确定。
23. 关于平均数、中位数和众数，下列说法正确的有（ ）
A: 平均数受极端值影响大 ✓；B: 中位数只与位置有关，不受极端值影响 ✓；C: 可能有多个众数或没有 ✗；D: 偶数个数据时中位数是中间两数的平均数，不一定在数据中 ✗。
答案：AB。A 正确，B 正确。C 错误（可能没有众数），D 不严谨（偶数个时是中间两数的平均数）。
24. 某班 40 名学生，体重数据的频数分布直方图中，下列说法正确的有（ ）
A: 频数总和 = 总数 ✓；B: 频率 = 频数/总数，频率之和 = 1 ✓；C: 频数越大，频率 = 频数/总数 也越大 ✗；D: 直方图显示各区间数据分布 ✓。
答案：ABD。A、B、D 正确。C 错误，频数越大频率也越大（频率 = 频数/总数）。
25. 关于概率，下列说法正确的有（ ）
A: 不可能事件概率为 0 ✓；B: 必然事件概率为 1 ✓；C: 随机事件概率 0 < P < 1 ✓；D: 频率稳定于概率，可用于估计 ✓。
答案：ABCD。四个说法都是概率的基本性质，全部正确。
四、其他题型（每题 3 分，共 15 分）
26. 计算数据 2, 4, 6, 8, 10 的平均数和方差。
平均数 = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6。方差 = [(2−6)² + (4−6)² + (6−6)² + (8−6)² + (10−6)²]/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8。
答案：平均数 = 6，方差 = 8。平均数 = 30/5 = 6；方差 = [(−4)² + (−2)² + 0² + 2² + 4²]/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 8。
27. 一个口袋中有 2 个红球、3 个白球，从中随机摸出两个球，求摸到两个都是红球的概率。
总共有 5 个球，从中选 2 个，共有 C(5,2) = 10 种等可能结果。两个都是红球：从 2 个红球中选 2 个，有 C(2,2) = 1 种。P = 1/10。
答案：1/10。总情况数 C(5,2) = 10，两红的情况数 C(2,2) = 1，P = 1/10。
28. 某次考试，小明语文 85 分、数学 92 分、英语 88 分，若按 3:4:3 的权重计算加权平均分，求小明的加权平均分。
加权平均分 = (85×3 + 92×4 + 88×3)/(3+4+3) = (255 + 368 + 264)/10 = 887/10 = 88.7。
答案：88.7 分。(85×3 + 92×4 + 88×3)/10 = (255 + 368 + 264)/10 = 887/10 = 88.7。
29. 掷两个骰子，求点数之和为 7 的概率。
总共有 6×6 = 36 种等可能结果。和为 7 的组合：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1) 共 6 种。P = 6/36 = 1/6。
答案：1/6。总情况数 36，和为 7 的有 6 种：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)。P = 6/36 = 1/6。
30. 一组数据 3, 5, 7, a, 9 的平均数是 6，求 a 的值和这组数据的中位数。
由平均数 = 6 得：(3+5+7+a+9)/5 = 6 → 24 + a = 30 → a = 6。排序：3, 5, 6, 7, 9，中位数为第 3 个数 6。
答案：a = 6，中位数 = 6。(24 + a)/5 = 6 → a = 6。排序后为 3, 5, 6, 7, 9，中位数 = 6。