前置知识：课件 32（数据的收集与整理）、课件 33（数据的分析）、课件 34（概率初步）
奥数挑战 — 阶段十一：统计与概率
本阶段围绕「数据收集整理、数据分析、概率」出题，考察统计图表的解读、平均数/中位数/众数/方差的计算、概率的列举与计算等。
1. 一组数据：3, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 12。求这组数据的平均数、中位数和众数。
平均数 = 总和 ÷ 个数。中位数：数据已排序，偶数个取中间两个数的平均数。众数：出现次数最多的数。
总和 = 3+5+7+7+8+9+10+12 = 61
平均数 = 61 ÷ 8 = 7.625
数据共 8 个（偶数），中位数 = (7+8)/2 = 7.5
7 出现 2 次，次数最多，众数 = 7
2. 一个袋子里有 3 个红球和 2 个白球。从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？
概率 = 有利结果数 ÷ 所有可能结果数。总球数 = 5，红球数 = 3。
总球数 = 3 + 2 = 5
P(红球) = 3/5 = 0.6（或 3/5）
3. 一组数据：2, 4, 6, 8, 10。求这组数据的方差。
先求平均数，再代入方差公式：s² = [(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + … + (xₙ-x̄)²] / n。
平均数 x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 6
s² = [(2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (10-6)²] / 5
= (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 40/5 = 8
4. 同时抛掷两枚硬币，求至少有一枚正面朝上的概率。
用列举法列出所有等可能结果：（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反），共 4 种。或用反向思维：1 - P(两枚都反面)。
所有等可能结果：正正、正反、反正、反反（共 4 种）
至少一枚正面：正正、正反、反正（共 3 种）
P = 3/4 = 0.75
（或 P = 1 - P(两枚反面) = 1 - 1/4 = 3/4）
5. 某班 40 名学生的数学成绩如下：90 分以上的 5 人，80-89 分的 12 人，70-79 分的 15 人，60-69 分的 6 人，60 分以下的 2 人。求这个班数学成绩的加权平均数（用组中值计算）。
各组组中值：90分以上取 95，80-89 取 84.5，70-79 取 74.5，60-69 取 64.5，60分以下取 54.5。加权平均数 = Σ(组中值 × 频数) ÷ 总人数。
组中值：95, 84.5, 74.5, 64.5, 54.5
加权和 = 95×5 + 84.5×12 + 74.5×15 + 64.5×6 + 54.5×2
= 475 + 1014 + 1117.5 + 387 + 109 = 3102.5
加权平均数 = 3102.5 ÷ 40 = 77.5625（约 77.56）
6. 从 1、2、3、4、5 这五个数字中任取两个不同的数字组成两位数。求这个两位数是偶数的概率。
先求所有可能的两位数的个数（排列问题）。偶数的条件是末位为 2 或 4。分别计算末位为 2 和末位为 4 的情况数。
总个数：5×4 = 20（取两个不同数字排列）
偶数：末位为 2 → 十位有 4 种选择；末位为 4 → 十位有 4 种选择
偶数个数 = 4 + 4 = 8
P(偶数) = 8/20 = 2/5（或 0.4）
7. 一组数据的平均数为 10，方差为 4。如果每个数据都加上 3，新数据的平均数和方差分别是多少？
每个数据都加上同一个常数：平均数也加这个常数，方差不变（因为每个数据与平均数的差不变）。
新平均数 = 10 + 3 = 13
方差不变：4
（每个数据与平均数的偏差不变，故方差不变）
8. 小明和小红玩一个游戏：同时各伸出一只手的手指数（1-5）。如果两人手指数的和是偶数，小明赢；如果是奇数，小红赢。这个游戏公平吗？为什么？
列出所有可能结果（5×5=25 种）。两数之和为偶数当且仅当两数同奇同偶。分别计算奇数和偶数的个数。
总结果数：5×5 = 25
1-5 中奇数有 3 个（1,3,5），偶数有 2 个（2,4）
和为偶数 = 同奇或同偶 = 3×3 + 2×2 = 9 + 4 = 13
和为奇数 = 25 - 13 = 12
P(小明赢) = 13/25，P(小红赢) = 12/25
13/25 ≠ 12/25，∴ 游戏不公平，小明略占优势。
9. 一个不透明的袋子里有 3 个红球、2 个蓝球和 1 个绿球。从中随机摸出两个球（不放回），求摸到的两个球颜色相同的概率。
先求总情况数：从 6 个球中任取 2 个的组合数 C(6,2)。再分别计算两红（C(3,2)）、两蓝（C(2,2)）、两绿（C(1,2)=0，不可能）的情况数。
总情况数：C(6,2) = 15
两红：C(3,2) = 3
两蓝：C(2,2) = 1
两绿：C(1,2) = 0（不可能）
颜色相同的情况数 = 3 + 1 = 4
P = 4/15
（约为 0.267）
10. 某市对 1000 名初中生进行视力调查，结果如下：视力正常的占 40%，轻度近视的占 35%，中度近视的占 20%，重度近视的占 5%。请画出扇形统计图（说出每个扇形的圆心角度数即可），并计算这个市初中生近视率是多少。
圆心角 = 百分比 × 360°。近视率 = 轻度 + 中度 + 重度近视的百分比之和。
各扇形圆心角：
视力正常：40% × 360° = 144°
轻度近视：35% × 360° = 126°
中度近视：20% × 360° = 72°
重度近视：5% × 360° = 18°
近视率 = 35% + 20% + 5% = 60%