奥数挑战 — 阶段五：平行与三角形

本阶段围绕「平行线、三角形、全等」出题，考察角度推导、三角形性质、全等判定与证明等几何核心能力。

1. 如图，AB ∥ CD，∠B = 50°，∠D = 30°。求 ∠BED 的度数。（E 在 AB 和 CD 之间，连接 BE 和 ED）

过点 E 作一条与 AB、CD 都平行的辅助线，将 ∠BED 分成两个角，分别与 ∠B 和 ∠D 构成内错角。

∠BED = 80°。

过 E 作 EF ∥ AB（则 EF ∥ CD）。∠BEF = ∠B = 50°（内错角），∠FED = ∠D = 30°（内错角）。所以 ∠BED = ∠BEF + ∠FED = 50° + 30° = 80°。

2. 已知三角形两边长分别为 5 和 8，第三边长为整数。求第三边长的所有可能值。

三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。即 |8 − 5| < x < 8 + 5。

第三边长的可能值为：4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。

设第三边长为 x，由三边关系：8 − 5 < x < 8 + 5，即 3 < x < 13。x 为整数，故 x = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。

3. 已知 △ABC 中，∠A = 60°，∠B = 80°。求 ∠C 的外角的度数。

先求 ∠C = 180° − ∠A − ∠B，再求外角。或者直接用“外角等于不相邻的两个内角之和”。

∠C 的外角 = 140°。

方法一：∠C = 180° − 60° − 80° = 40°，外角 = 180° − 40° = 140°。

方法二：外角 = ∠A + ∠B = 60° + 80° = 140°。

4. 已知 △ABC ≌ △DEF，且 AB = 7 cm，BC = 9 cm，∠B = 55°。求 DE 的长度和 ∠E 的度数。

全等三角形的对应边相等、对应角相等。注意对应关系：△ABC ≌ △DEF 中，A ↔ D，B ↔ E，C ↔ F。

DE = 7 cm，∠E = 55°。

由 △ABC ≌ △DEF 知：AB 对应 DE，∠B 对应 ∠E。所以 DE = AB = 7 cm，∠E = ∠B = 55°。

5. 在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线。已知 AB = 6，AC = 8，BC = 10。求 AD 的长度。（提示：用中线长公式）

中线长公式：AD² = (2AB² + 2AC² − BC²) / 4。代入数值计算即可。

AD = 5。

由中线长公式：AD² = (2×6² + 2×8² − 10²) / 4 = (2×36 + 2×64 − 100) / 4 = (72 + 128 − 100) / 4 = 100 / 4 = 25，所以 AD = 5。

（注：6² + 8² = 10²，此三角形为直角三角形，AD 恰为斜边中线，等于斜边一半。）

6. 两条平行线被第三条直线所截，得到 8 个角。已知其中一个角是 70°，求其余 7 个角的度数。

两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补（和为 180°）。8 个角中只有两种不同的度数，它们互补。

两直线平行时，8 个角分为两组：
一组 4 个角都等于 70°（同位角、内错角相等）。
另一组 4 个角都等于 180° − 70° = 110°（同旁内角互补）。
所以其余 7 个角中，有 3 个是 70°，4 个是 110°。
（具体哪个角是哪个度数，取决于 70° 角在哪个位置。）

7. 已知 OA = OB，OC = OD，∠AOB = ∠COD = 90°。求证：AC = BD，且 AC ⊥ BD。

将 △AOC 绕点 O 旋转 90°，观察它与 △BOD 的关系。或者用 SAS 证明 △AOC ≌ △BOD。

证明：

在 △AOC 和 △BOD 中：OA = OB（已知），OC = OD（已知），∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + ∠BOC，∠BOD = ∠COD + ∠BOC = 90° + ∠BOC，所以 ∠AOC = ∠BOD。

由 SAS 得 △AOC ≌ △BOD，∴ AC = BD。

将 △AOC 绕 O 旋转 90° 可与 △BOD 重合，故 AC 与 BD 的夹角为 90°，即 AC ⊥ BD。

8. 一个三角形的三个内角的度数之比为 2:3:4。求这个三角形三个内角的度数，并判断是什么三角形。

三角形内角和为 180°。按比例分配：总份数 = 2+3+4 = 9，每份 = 180° ÷ 9 = 20°。三个角分别占 2 份、3 份、4 份。

三角形内角和 = 180°。
总份数 = 2 + 3 + 4 = 9。
每份 = 180° ÷ 9 = 20°。
三个角分别为：
2 × 20° = 40°，3 × 20° = 60°，4 × 20° = 80°。
最大角 80° < 90°，所以是锐角三角形。

9. 已知 △ABC 中，AB = AC，∠A = 40°。在 BC 上取一点 D，使得 ∠BAD = 30°。求 ∠ADC 的度数。

先由等腰三角形求 ∠B 和 ∠C，再在 △ABD 中求 ∠ADB，∠ADC 和 ∠ADB 互为补角。也可以在 △ADC 中直接求。

∠ADC = 100°。

AB = AC，∠A = 40°，所以 ∠B = ∠C = (180° − 40°) / 2 = 70°。

∠CAD = ∠A − ∠BAD = 40° − 30° = 10°。

在 △ADC 中，∠ADC = 180° − ∠CAD − ∠C = 180° − 10° − 70° = 100°。

10. 已知 AD 是 △ABC 的角平分线（AD 平分 ∠A），AB = 8 cm，AC = 6 cm，BC = 7 cm。求 BD 和 DC 的长度。（提示：角平分线定理）

角平分线定理：角平分线将对边分成的两段与两邻边成比例，即 BD : DC = AB : AC。

BD = 4 cm，DC = 3 cm。

由角平分线定理：BD : DC = AB : AC = 8 : 6 = 4 : 3。
BC = 7 cm，按比例分配：
总份数 = 4 + 3 = 7。
每份 = 7 ÷ 7 = 1 cm。
BD = 4 × 1 = 4 cm，DC = 3 × 1 = 3 cm。