前置知识：课件 10（几何图形）、课件 11（直线、射线、线段）、课件 12（角）
相交线与平行线
起源：古人如何画出笔直的平行线
在没有尺规的年代，古人怎样画出一条笔直的线，又怎样保证两条线"方向一致、永不相交"呢？
中国古代的工匠早就发明了"墨斗"——在绳上蘸满墨汁，两端拉紧后轻轻一弹，木料上便留下一条笔直的墨线。要立一排间距相等的柱子，匠人会先弹两条方向相同、永不相交的墨线，柱子立在两条线之间，整列房屋自然整齐。这种"同向而不相交"的思想，正是平行线的雏形。《周礼·考工记》说"审曲面势，以饬五材"，强调的就是审视平直与方向。
古埃及的"拉绳者"（harpedonaptae）则用打结的绳子丈量土地。尼罗河每年泛滥，冲毁田界，洪水退去后，他们要重新拉出笔直的田埂，把田地分成规整的长方形条块——这些条块的对边必须两两平行。古希腊历史学家希罗多德记载，正是这种反复丈量，催生了几何学（"几何"一词本意就是"测地"）。
《九章算术》的"方田"章专门讲各种形状田地的面积算法，其中长方形、梯形的计算都离不开"对边平行"这个前提。可以说，平行线是古人丈量土地、建造房屋时最朴素的几何工具之一。
一、两条直线相交——对顶角与邻补角
当两条直线相交时，会形成四个角。这四个角之间有特殊的关系：
对顶角：两条直线相交，相对的两个角就是对顶角。对顶角相等。
为什么？因为 ∠1 + ∠2 = 180°（平角），∠2 + ∠3 = 180°（平角），所以 ∠1 = ∠3。
邻补角：相邻的两个角（共用一条边）就是邻补角。邻补角之和 = 180°。
解：对顶角 = 55°。邻补角 = 180° - 55° = 125°。所以四个角分别是 55°、125°、55°、125°。
二、垂线——最特殊的相交
当两条直线相交成直角（90°）时，它们互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，交点叫作垂足。
核心结论：连接直线外一点 P 与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。这条垂线段的长度就叫作点 P 到直线的距离。
三、平行线——永远不会碰面的直线
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。记作 a ∥ b。
平行线在生活中随处可见：铁轨的两条钢轨、笔记本的横线、五线谱、钢琴键盘的缝隙……
但怎么判断两条直线到底平不平行呢？总不能"无限延长"去验证吧？这就要用到第三条直线——截线。
图说数学：一条截线揭示的"三线八角"
当一条直线（截线）穿过两条直线时，会形成八个角。这八个角之间有三种关键关系，就是判断平行线的"三把钥匙"：
同位角（像"F"形）、内错角（像"Z"形）、同旁内角（像"U"形）。
3.1 同位角——"F"形
同位角：在截线的同一侧，又在两条被截直线的同一方向的两个角。
平行线的判定方法 1：如果同位角相等，那么两条直线平行。
反过来，平行线的性质 1：如果两条直线平行，那么同位角相等。
3.2 内错角——"Z"形
内错角：在截线的两侧，又在两条被截直线之间的两个角。
平行线的判定方法 2：如果内错角相等，那么两条直线平行。
反过来，平行线的性质 2：如果两条直线平行，那么内错角相等。
3.3 同旁内角——"U"形
同旁内角：在截线的同一侧，又在两条被截直线之间的两个角。
平行线的判定方法 3：如果同旁内角互补（和为 180°），那么两条直线平行。
反过来，平行线的性质 3：如果两条直线平行，那么同旁内角互补。
四、平行线的判定与性质——一张表记清楚
| 条件（判定） | ⇔ | 结论（性质） |
|---|---|---|
| 同位角相等 | ⇔ | 两直线平行 |
| 内错角相等 | ⇔ | 两直线平行 |
| 同旁内角互补（和为 180°） | ⇔ | 两直线平行 |
记忆口诀：F（同位角相等）→ 平行；Z（内错角相等）→ 平行；U（同旁内角互补）→ 平行。
判定 vs 性质：判定是"用角推平行"，性质是"已知平行推角"。它们是互逆的关系。
五、平移——图形在平面上的"滑动"
平移就是把一个图形沿某个方向移动一定的距离。平移后：
- 形状和大小不变（全等）
- 对应点连线平行且相等
- 对应线段平行且相等
挑战性问题
问题 1：铁轨的两条钢轨是平行的。如果一根枕木与其中一条钢轨垂直，它与另一条钢轨也垂直吗？为什么？
问题 2：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，这两个角有什么关系？画图试试看，你发现了什么？
问题 3：用两块同样的三角尺，你能拼出几组互相平行的边？说说你的判断依据。
拓展阅读
墨斗与准绳——中国古代的"平行"智慧：中国传统木工的"墨斗"是画直线的工具，匠人蘸墨一弹便得笔直墨线；"准"取水平、"绳"取竖直，《考工记》所谓"审曲面势"。立柱、铺瓦、挖渠都要求成排的线互相平行，这才有了整齐划一的宫殿与阡陌。
古埃及的"拉绳者"：希罗多德在《历史》中记载，尼罗河泛滥后，"拉绳者"用打结的绳子重新丈量田界，把冲毁的田地分成平行的长条——"几何"（geometry）一词正源于"测地"。他们用 3-4-5 的绳结构造直角，是勾股定理的早期应用。
推荐阅读：《九章算术》"方田"章——古人如何计算各种形状田地的面积；《古今数学思想》——几何学从古埃及、古希腊到现代的演变。
习题
1. 两条直线相交，其中一个角是 70°。求另外三个角的度数。
2. 判断：两条直线不相交，它们就一定是平行线。对还是错？
3. 如图，直线 a ∥ b，截线 c 与它们相交。已知 ∠1 = 55°，求 ∠2 的度数（∠1 和 ∠2 是同位角）。
4. 两条直线被第三条直线所截，测得内错角分别为 65° 和 65°。这两条直线平行吗？
5. 直线 a 和 b 被截线 c 所截，测得同旁内角分别为 120° 和 50°。这两条直线平行吗？
6. 直线 a ∥ b，截线 c 与它们相交，测得 ∠1 = 100°（∠1 在 a 上方偏左）。请问 ∠1 的同旁内角是多少度？
7. 点 P 到直线 l 的距离是 3 cm。在直线 l 上取一点 Q，连接 PQ。PQ 的长度可能是 2.5 cm 吗？为什么？
8. 在"三线八角"中，找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角（用你自己的语言描述即可）。
9. 将一个三角形向右平移 5 个单位。平移后，三角形的三个角的大小变了吗？三条边的长度变了吗？
10. 直线 a 和 b 被截线 c 所截，测得 ∠1 = 3x + 10°，∠2 = 5x - 30°。如果 ∠1 和 ∠2 是同位角且两直线平行，求 x 的值。
小结
- 对顶角相等，邻补角之和为 180°
- 垂线段最短，点到直线的距离就是垂线段的长度
- 平行线的判定（用角推平行）：同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 → 两直线平行
- 平行线的性质（已知平行推角）：两直线平行 → 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补
- 平移不改变图形的形状和大小，对应点连线平行且相等
- 古人用墨斗、准绳、拉绳等工具画直线、保证平行，把平行线用于丈量田地与建造房屋