前置知识：课件 14（三角形）、15（全等三角形）、20（轴对称）
相似 — 形状相同，大小不同
起源：泰勒斯再测金字塔
还记得全等三角形那课里提到的泰勒斯吗？他不光用全等三角形测了船距，还有一个更著名的故事——测量金字塔的高度。
传说泰勒斯旅行到埃及，看到宏伟的金字塔，心想：这么高的金字塔，怎么才能知道它的高度呢？总不能爬上去量吧？
他想到了一个绝妙的办法：在金字塔旁边立了一根木棍。等到某一天某个时刻，木棍的影子长度恰好等于木棍的高度时，他跑去测量金字塔影子的长度——这个长度，就是金字塔的高度！
为什么？因为在这个时刻，木棍和它的影子组成的三角形，与金字塔和它的影子组成的三角形，它们的形状完全一样，只是大小不同——这就是"相似"的思想。
《古今数学思想》中记载："泰勒斯利用相似三角形的原理测量金字塔高度，是几何学从实用测量走向理论科学的关键一步。"
中国古代的相似——刘徽《海岛算经》与重差术：魏晋数学家刘徽（约公元 263 年）在为《九章算术》作注的基础上，撰写了《海岛算经》一书。书中第一题"望海岛"就是：站在岸边望海岛上的塔，如何测出塔的高度和到岸的距离？刘徽用"重差术"——立两根等高的表（标杆），前后测量，利用两次相似三角形的关系，通过"差"算出结果。这种方法比泰勒斯单次测量更进了一步：当目标不可到达时，通过两次测量（"重"）建立相似关系，再用"差"消去未知量。这正是相似三角形在古代测量学中的精彩应用，比西方同类方法早了一千多年。
概念与定义
一、什么是相似？
你在手机上看照片时，用两根手指一捏，照片就缩小了；一撑，照片就放大了。缩小的照片和放大的照片，图案完全一样，只是大小不同——这就是"相似"。
在数学中，相似说的就是：两个图形形状完全相同，但大小可以不同。
相似多边形的定义：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）。
记作：△ABC ∽ △DEF（"∽"读作"相似于"）
全等 vs 相似：
- 全等：形状相同 + 大小相等（相似比 = 1:1）
- 相似：形状相同，大小可以不同（相似比不一定为 1）
全等是相似的特殊情况！相似比为 1:1 时，相似就是全等。
相似比（比例因子）：
k = 对应边⁄对应边
如果 k > 1，放大；如果 0 < k < 1，缩小；如果 k = 1，全等。
逻辑推导：相似三角形的三种判定方法
全等三角形需要三组条件（SSS、SAS、ASA 等），相似三角形是否也需要这么多？答案是：不需要！因为相似只要求形状相同，大小可以不同，所以条件更宽松。
方法一：AA（角角）——两个角对应相等
内容：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似。
通俗理解：三角形内角和是 180°，两个角相等就意味着第三个角也相等。三个角都相等，形状就确定了——大小可以不同，但形状一定一样。
这是最常用的判定方法！因为只需要两个角，比全等少多了。
经典例子：如图，DE ∥ BC，则 △ADE ∽ △ABC（AA：∠A 公共，∠ADE = ∠B 同位角相等）。
方法二：SAS（边角边）——两边成比例且夹角相等
内容：如果两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
通俗理解：两边长度虽然不同，但它们的比例相同，而且这两条边张开的"角度"也一样——这时候，第三条边也会按相同的比例变化，整个形状就锁定了。
注意：与全等 SAS 的区别——全等要求两边"相等"，相似只要求两边"成比例"。
方法三：SSS（边边边）——三边对应成比例
内容：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
通俗理解：三条边的长度等比例缩放——比如每条边都变为原来的 2 倍或 1/3——整个三角形的形状不会变，只是大小变了。
注意：与全等 SSS 的区别——全等要求三边"相等"，相似只要求三边"成比例"。
全等判定 vs 相似判定 对比：
| 全等（≅） | 相似（∽） | |
|---|---|---|
| SSS | 三边对应相等 | 三边对应成比例 |
| SAS | 两边及其夹角对应相等 | 两边成比例且夹角相等 |
| ASA / AA | 两角及其夹边对应相等 | 两角对应相等（不需要边！） |
| AAS | 两角及一角的对边相等 | 包含在 AA 中（AA 就够了） |
| HL | 斜边和一直角边对应相等 | 斜边和一直角边对应成比例 |
看出规律了吗？把"相等"换成"成比例"，大部分全等判定就变成了相似判定。而且相似少了一个条件——因为大小不需要确定。
相似三角形的性质
一旦你证明了两个三角形相似，就能得到很多有用的结论：
性质 1（对应边成比例）：
若 △ABC ∽ △DEF，则 AB : DE = BC : EF = CA : FD = k（相似比）
性质 2（对应角相等）：
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F
性质 3（周长比 = 相似比）：
周长(△ABC) : 周长(△DEF) = k
性质 4（面积比 = 相似比的平方）：
面积(△ABC) : 面积(△DEF) = k²
为什么面积比是 k²？想象一个底和高都是原来的 2 倍的三角形，面积 = ½ × 底 × 高 = ½ × (2×原底) × (2×原高) = 4 × 原面积。所以面积比 = 相似比的平方。
位似：相似 + 对应点连线交于一点
位似（homothety）是一种特殊的相似关系。两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个点——这个点叫做位似中心。
位似的特征：
- 两个图形相似（形状相同）
- 对应点的连线交于同一点（位似中心）
- 对应边平行（在位似中，AB ∥ A'B'，BC ∥ B'C'，CA ∥ C'A'）
生活中的位似：投影仪放大的画面、手电筒照出的影子——光从一点发出，把物体"放大"到屏幕上，这就是位似。地图上的缩放也是位似（只不过地图的位似中心在无穷远处）。
挑战性问题
问题 1：两个相似三角形的相似比是 2:3，小三角形的面积是 16cm²，大三角形的面积是多少？
问题 2：如图，在 △ABC 中，DE ∥ BC，AD = 3，DB = 6，BC = 12。求 DE 的长度。
问题 3：能不能说"两个等腰三角形一定相似"？如果不能，请举出反例。
问题 4：位似中心和相似比有什么关系？如果位似中心在两图形之间，相似比是正还是负？
拓展阅读：奇妙的分形图形
分形（fractal）是数学中最迷人的概念之一。一个图形如果它的每个部分都和整体形状相似，就叫做分形。这就是"自相似性"——你放大分形图形的任何一个角落，看到的图案都和整体一模一样。
科赫雪花：从一条线段出发，把中间三分之一换成等边三角形的两边，然后对每条新线段重复这个操作——无限重复下去，就得到了一条无限长但包围面积有限的曲线！
谢尔宾斯基三角形：从一个实心三角形开始，挖掉中间倒三角形，然后在剩下的三个小三角形中重复同样的操作——无限次之后，你得到了一个"处处是洞"但面积趋近于零的图形。
自然界中的分形：雪花、树叶的脉络、海岸线、闪电、花椰菜——大自然中到处都是分形。分形几何的创始人曼德博（Benoit Mandelbrot）说："云不是球，山不是锥，海岸线不是圆。"
推荐阅读：《混沌与分形——科学的新疆界》、《分形——大自然的几何学》。
习题
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 相似三角形一定全等
B. 全等三角形一定相似
C. 面积相等的两个三角形一定相似
D. 周长相等的两个三角形一定相似
2. 已知 △ABC ∽ △DEF，相似比 k = 1:3。若 AB = 4cm，则 DE = ？
3. 根据下列条件，能判定 △ABC ∽ △DEF 的是（ ）
A. AB = DE，BC = EF，∠A = ∠D
B. ∠A = ∠D，∠B = ∠E
C. AB = 2，BC = 3，DE = 4，EF = 5
D. ∠A = 30°，∠B = 60°，∠D = 30°，∠E = 70°
4. 如图，在 △ABC 中，DE ∥ BC，AD = 2，DB = 4，BC = 9。求 DE。
5. 两个相似三角形的相似比是 3:5，小三角形的周长是 18cm。大三角形的周长是多少？
6. 两个相似三角形的面积比是 4:9，它们的相似比是多少？
7. 小明身高 1.5m，在阳光下影长 2m。同一时刻，旁边一棵树的影长是 8m。这棵树有多高？
8. 下列选项中，关于位似的说法正确的是（ ）
A. 位似图形一定是全等图形
B. 位似图形的对应边不一定平行
C. 位似图形对应点连线交于同一点
D. 位似中心只能在图形外部
9. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于 D。图中有几对相似三角形？请把它们写出来。
10. 已知 △ABC 三边长分别为 3、4、5。△DEF 与 △ABC 相似，且最短边长为 9。求 △DEF 的另外两边长和面积。
小结
- 相似 = 形状相同，大小可以不同。全等是相似的特殊情况（相似比 k = 1）
- 三种判定方法：AA（两角相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、SSS（三边成比例）。AA 最常用！
- 相似比 = 对应边的比 = 周长的比。面积比 = 相似比的平方
- 位似 = 相似 + 对应点连线交于一点（位似中心），对应边互相平行
- 分形 = 自相似性——每个局部都和整体形状相似，是大自然中普遍存在的几何模式
- 相似三角形是几何中最强大的工具之一：测高度、测距离、证明比例关系，都离不开它