前置知识：课件 27（旋转）、课件 28（圆）、课件 29（相似）、课件 30（锐角三角函数）、课件 31（投影与视图）
奥数挑战 — 阶段十：几何综合
本阶段综合几何知识，围绕「圆、相似、三角函数、旋转」出题，考察几何综合推理与计算能力。
1. 已知圆的半径为 5 cm，圆心到一条直线的距离为 3 cm。判断直线与圆的位置关系。如果相交，求弦长。
比较圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小：d < r 相交，d = r 相切，d > r 相离。弦长公式：2√(r² - d²)。
d = 3 cm，r = 5 cm，d < r，直线与圆相交。
弦长 = 2√(r² - d²) = 2√(25 - 9) = 2√16 = 8 cm。
2. 在 △ABC 中，∠C = 90°，sin A = 3/5，AB = 10。求 BC 和 AC 的长度。
sin A = 对边/斜边 = BC/AB。由 sin A = 3/5 和 AB = 10 求出 BC，再用勾股定理求 AC（或用 cos A）。
sin A = BC/AB = 3/5，AB = 10
∴ BC = 10 × (3/5) = 6
AC = √(AB² - BC²) = √(100 - 36) = √64 = 8
（或 AC = AB·cos A = 10 × (4/5) = 8）
3. 已知两个相似三角形的相似比为 2:3，小三角形的面积为 16 cm²。求大三角形的面积。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。相似比 2:3，面积比 = (2/3)² = 4/9。
面积比 = (2/3)² = 4/9
设大三角形面积为 S，则 16/S = 4/9
∴ S = 16 × (9/4) = 36 cm²
4. 已知圆 O 的直径 AB = 10 cm，C 是圆上一点，∠CAB = 30°。求弦 AC 的长度。
直径所对的圆周角是直角，因此 ∠ACB = 90°。在 Rt△ABC 中，已知斜边 AB 和一个锐角，用三角函数求 AC。
AB 是直径，C 在圆上 → ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角）
在 Rt△ABC 中，∠CAB = 30°，AB = 10
AC = AB·cos 30° = 10 × (√3/2) = 5√3 cm
5. 已知 tan α = 2，求 (sin α + cos α)/(sin α - cos α) 的值。
分子分母同除以 cos α，将式子化为只含 tan α 的形式。
分子分母同除以 cos α：
(sin α + cos α)/(sin α - cos α) = (tan α + 1)/(tan α - 1)
= (2 + 1)/(2 - 1) = 3
6. 在 △ABC 中，DE ∥ BC，且 AD : DB = 2 : 3。已知 △ADE 的面积为 8 cm²。求梯形 DBCE 的面积。
由 DE ∥ BC 得 △ADE ∽ △ABC。由 AD : DB = 2 : 3 得 AD : AB = 2 : 5。面积比 = 相似比的平方。梯形面积 = △ABC 面积 - △ADE 面积。
AD : DB = 2 : 3 → AD : AB = 2 : (2+3) = 2 : 5
相似比 = 2/5，面积比 = (2/5)² = 4/25
8 / S△ABC = 4/25 → S△ABC = 8 × (25/4) = 50 cm²
梯形 DBCE 面积 = 50 - 8 = 42 cm²
7. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 6 cm。求扇形的弧长和面积。
弧长公式：l = (n/360) × 2πr。面积公式：S = (n/360) × πr²。
弧长 = (120/360) × 2π × 6 = (1/3) × 12π = 4π cm
面积 = (120/360) × π × 6² = (1/3) × 36π = 12π cm²
8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4。将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°，得到 △A'B'C。求点 A' 到点 B 的距离。
建立坐标系，以 C 为原点。先求出 A 和 B 的坐标，再用旋转公式求出 A' 的坐标，最后用两点间距离公式求 A'B。
以 C 为原点，CA 在 x 轴上，CB 在 y 轴上。
在 Rt△ABC 中，∠A = 30°，BC = 4
AB = 8，AC = 4√3
∴ A(4√3, 0)，B(0, 4)
绕 C 逆时针旋转 60°：
A'(4√3·cos60°, 4√3·sin60°) = (4√3×1/2, 4√3×√3/2) = (2√3, 6)
A'B = √[(2√3)² + (6-4)²] = √(12 + 4) = √16 = 4
9. 已知 PA、PB 是圆 O 的两条切线，A、B 为切点。∠APB = 60°，OA = 4 cm。求 PA 的长度。
切线长定理：PA = PB。连接 OA、OP，OP 平分 ∠APB。在 Rt△OAP 中，OA ⟂ PA，∠APO = 30°，用三角函数求 PA。
连接 OA、OP。由切线性质：OA ⟂ PA。
由切线长定理：OP 平分 ∠APB，∴ ∠APO = 30°。
在 Rt△OAP 中，tan 30° = OA/PA = 4/PA = 1/√3
∴ PA = 4√3 cm
10. 已知圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm。求圆锥的侧面积和全面积。
圆锥侧面积公式：S侧 = πrl（r 为底面半径，l 为母线长）。全面积 = 侧面积 + 底面积 = πrl + πr²。
侧面积 = πrl = π × 3 × 5 = 15π cm²
底面积 = πr² = π × 9 = 9π cm²
全面积 = 15π + 9π = 24π cm²