前置知识：课件 23（平面直角坐标系）、课件 24（一次函数）、课件 25（二次函数）、课件 26（反比例函数）
奥数挑战 — 阶段九：函数
本阶段围绕「坐标系、一次函数、二次函数、反比例函数」出题，考察函数图像分析、待定系数法、函数与方程不等式的关系等。
1. 已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (1, 3) 和 (2, 5)。求这个一次函数的解析式。
将两个点的坐标分别代入 y = kx + b，得到关于 k 和 b 的二元一次方程组，解出 k 和 b 即可。
代入 (1, 3)：3 = k + b
代入 (2, 5)：5 = 2k + b
两式相减得 k = 2，代入得 b = 1。
∴ 一次函数解析式为 y = 2x + 1。
2. 已知二次函数 y = x² - 4x + 3。求它的顶点坐标、对称轴和与 x 轴的交点坐标。
用配方法将函数化为 y = (x - h)² + k 的形式，顶点为 (h, k)，对称轴为 x = h。令 y = 0 解方程求与 x 轴的交点。
y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1
∴ 顶点坐标为 (2, -1)，对称轴为 x = 2。
令 y = 0：(x - 2)² - 1 = 0 → (x - 2)² = 1 → x - 2 = ±1
∴ x₁ = 1，x₂ = 3，与 x 轴的交点为 (1, 0) 和 (3, 0)。
3. 已知反比例函数 y = k/x 的图象经过点 (2, 3)。求 k 的值，并判断点 (-3, -2) 是否在这个函数的图象上。
将已知点的坐标代入 y = k/x 求出 k。判断一个点是否在图象上，只需将该点坐标代入函数解析式，看等式是否成立。
代入 (2, 3)：3 = k/2 → k = 6。
函数为 y = 6/x。
检验 (-3, -2)：6/(-3) = -2，等式成立。
∴ 点 (-3, -2) 在这个函数的图象上。
4. 已知二次函数 y = x² - 2x - 3。当 x 取何值时，y > 0？当 x 取何值时，y 随 x 增大而减小？
先因式分解求与 x 轴的交点，结合开口方向判断 y > 0 的区间。求对称轴，结合开口方向判断增减性。
y = x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
与 x 轴交于 x = -1 和 x = 3，开口向上。
∴ y > 0 时，x < -1 或 x > 3。
对称轴为 x = 1，开口向上，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小。
∴ y 随 x 增大而减小时，x < 1。
5. 已知一次函数 y = 2x + 1 和反比例函数 y = 6/x。求它们的交点坐标。
联立两个函数解析式，消去 y 得到关于 x 的分式方程，去分母化为一元二次方程求解，再代回求 y。
联立：2x + 1 = 6/x
两边乘 x：2x² + x - 6 = 0
因式分解：(2x - 3)(x + 2) = 0
∴ x₁ = 3/2，x₂ = -2
代入 y = 2x + 1：y₁ = 4，y₂ = -3
∴ 交点坐标为 (3/2, 4) 和 (-2, -3)。
6. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点 (0, 1)、(1, 0)、(-1, 4)。求 a、b、c 的值。
将三个点的坐标分别代入，得到关于 a、b、c 的三元一次方程组。先由 (0, 1) 直接得到 c 的值。
代入 (0, 1)：c = 1
代入 (1, 0)：a + b + 1 = 0 → a + b = -1 ①
代入 (-1, 4)：a - b + 1 = 4 → a - b = 3 ②
① + ②：2a = 2 → a = 1
代入①：1 + b = -1 → b = -2
∴ a = 1，b = -2，c = 1，函数为 y = x² - 2x + 1 = (x - 1)²。
7. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 7)。求线段 AB 的中点坐标和 AB 的长度。
中点坐标公式：( (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2 )。两点间距离公式：√[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]。
中点坐标：( (2+5)/2, (3+7)/2 ) = (3.5, 5)
AB = √[(5-2)² + (7-3)²] = √(9 + 16) = √25 = 5
8. 已知一次函数 y = kx + b 的图象与直线 y = 2x - 1 平行，且经过点 (1, 4)。求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积。
两直线平行则斜率相等，由此得 k = 2。代入点 (1, 4) 求 b。求出函数与 x 轴、y 轴的交点，围成的三角形是直角三角形，面积 = (1/2)×|x截距|×|y截距|。
平行于 y = 2x - 1 → k = 2
代入 (1, 4)：4 = 2×1 + b → b = 2
∴ 函数为 y = 2x + 2
与 x 轴交点：令 y = 0 → x = -1，交点 (-1, 0)
与 y 轴交点：令 x = 0 → y = 2，交点 (0, 2)
三角形面积 = 1/2 × |−1| × 2 = 1
9. 已知二次函数 y = x² - 2mx + m² - 1。求证：无论 m 取何值，这个函数的图象与 x 轴总有两个交点。
二次函数图象与 x 轴的交点个数由判别式 Δ = b² - 4ac 决定。计算 Δ，判断其是否恒大于 0。
Δ = (-2m)² - 4×1×(m² - 1) = 4m² - 4m² + 4 = 4
∵ Δ = 4 > 0 恒成立
∴ 无论 m 取何值，函数图象与 x 轴总有两个交点。
（这两个交点为 (m+1, 0) 和 (m-1, 0)）
10. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象顶点在 x 轴上，且经过点 (1, 2) 和 (3, 2)。求这个二次函数的解析式。
顶点在 x 轴上，可设 y = a(x - h)²。点 (1, 2) 和 (3, 2) 的纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，对称轴 x = h 在它们正中间，由此求出 h。再代入一个点求出 a。
顶点在 x 轴上，设 y = a(x - h)²。
点 (1, 2) 和 (3, 2) 纵坐标相同，关于对称轴 x = h 对称，
∴ h = (1+3)/2 = 2。
函数为 y = a(x - 2)²。
代入 (1, 2)：2 = a(1 - 2)² → a = 2。
∴ 解析式为 y = 2(x - 2)²，即 y = 2x² - 8x + 8。