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模拟考试 — 阶段六：函数

一、判断题（每题 1 分，共 10 分）

1. 平面直角坐标系中，点 (3, −2) 在第四象限。

第四象限的特征：x > 0, y < 0。点 (3, −2) 的 x = 3 > 0，y = −2 < 0，符合第四象限。

✅ 正确。x = 3 > 0，y = −2 < 0，该点在第四象限。

2. y = 2x + 1 中，y 是 x 的正比例函数。

正比例函数的形式是 y = kx（k ≠ 0），没有常数项。y = 2x + 1 有常数项 +1，是一次函数但不是正比例函数。

❌ 错误。y = 2x + 1 是一次函数，但不是正比例函数。正比例函数必须形如 y = kx（k ≠ 0）。

3. 一次函数 y = kx + b 的图像是一条直线。

一次函数的图像一定是直线，k 是斜率，b 是截距。这是基本性质。

✅ 正确。一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图像始终是一条直线。

4. 二次函数 y = x² 的图像关于 y 轴对称。

y = x² 中，(−x)² = x²，所以 y 的值只与 |x| 有关，图像关于 y 轴对称（即关于直线 x = 0 对称）。

✅ 正确。y = x² 是偶函数，图像关于 y 轴对称。对称轴为 x = 0（即 y 轴）。

5. 反比例函数 y = k/x 的图像一定经过原点。

当 x = 0 时，y = k/0 无意义，所以反比例函数的定义域不包含 x = 0，图像不可能经过原点。

❌ 错误。反比例函数 y = k/x 中 x ≠ 0，图像不经过原点。图像是双曲线，以坐标轴为渐近线。

6. 函数 y = 2x + 3 与 y = 2x − 1 的图像是平行的。

两条直线平行的条件是斜率相等。y = 2x + 3 和 y = 2x − 1 的斜率都是 k = 2，截距不同，所以平行。

✅ 正确。两条直线的斜率 k 都是 2，截距分别为 3 和 −1，斜率相同、截距不同，所以两直线平行。

7. 二次函数 y = −x² + 2x 的开口向上。

二次函数 y = ax² + bx + c 的开口方向由 a 的符号决定：a > 0 开口向上，a < 0 开口向下。这里 a = −1 < 0。

❌ 错误。a = −1 < 0，二次函数开口向下。

8. 点 P(2, 3) 关于 x 轴的对称点是 (2, −3)。

关于 x 轴对称：x 坐标不变，y 坐标取相反数。关于 y 轴对称：y 坐标不变，x 坐标取相反数。

✅ 正确。关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数：(2, 3) → (2, −3)。

9. 一次函数 y = kx + b 中，k 越大，直线越陡。

|k| 越大，直线越陡。k 的符号决定倾斜方向（上升或下降），但陡峭程度由 |k| 决定。

❌ 错误。是 |k| 越大，直线越陡。k 的符号只决定上升还是下降，比较陡峭程度要用绝对值。

10. 二次函数 y = (x − 2)² + 3 的顶点坐标是 (2, 3)。

顶点式 y = a(x − h)² + k 的顶点坐标为 (h, k)。这里 h = 2, k = 3。

✅ 正确。顶点式 y = a(x − h)² + k 中，顶点坐标为 (h, k)，即 (2, 3)。

二、单选题（每题 2 分，共 20 分）

11. 点 A(−3, 4) 到 x 轴的距离是（　）

点到 x 轴的距离 = |纵坐标|；点到 y 轴的距离 = |横坐标|。A(−3, 4) 到 x 轴的距离 = |4| = 4。

答案：B。点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值：|4| = 4。

12. 一次函数 y = −2x + 3 的图像不经过（　）

k = −2 < 0，直线从左到右下降；b = 3 > 0，与 y 轴交于正半轴。画出草图：经过第一、二、四象限，不经过第三象限。

答案：C。k < 0 且 b > 0，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。

13. 二次函数 y = x² − 4x + 3 的对称轴是（　）

对称轴公式：x = −b/(2a)。这里 a = 1, b = −4，所以 x = −(−4)/(2×1) = 4/2 = 2。

答案：B。对称轴 x = −b/(2a) = −(−4)/(2×1) = 2。

14. 反比例函数 y = 6/x，当 x = 2 时，y 的值为（　）

直接代入：y = 6/2 = 3。

答案：B。y = 6/2 = 3。

15. 一次函数 y = kx + b 经过点 (1, 3) 和 (2, 5)，则 k 的值为（　）

斜率 k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (5 − 3)/(2 − 1) = 2/1 = 2。

答案：B。k = (5 − 3)/(2 − 1) = 2。

16. 将抛物线 y = x² 向上平移 2 个单位，得到的解析式是（　）

向上平移：y 值增加 2，即 y = x² + 2。左右平移才改变 x 部分：右移减，左移加。

答案：A。向上平移 2 个单位：y = x² + 2。C、D 是左右平移。

17. 二次函数 y = −(x − 1)² + 4 的最大值是（　）

顶点式 y = a(x − h)² + k，a = −1 < 0，开口向下，最大值在顶点处取得，即 k = 4。

答案：C。a = −1 < 0，开口向下，顶点 (1, 4) 是最高点，最大值为 4。

18. 反比例函数 y = −4/x 的图像位于（　）

反比例函数 y = k/x：k > 0 时图像在第一、三象限；k < 0 时图像在第二、四象限。这里 k = −4 < 0。

答案：B。k = −4 < 0，反比例函数图像位于第二、四象限。

19. 已知一次函数 y = kx + b 中，y 随 x 的增大而减小，且图像与 y 轴交于正半轴，则（　）

y 随 x 增大而减小 → k < 0；与 y 轴交于正半轴 → b > 0。

答案：B。k < 0（减小），b > 0（正半轴截距）。

20. 二次函数 y = x² − 2x − 3 与 x 轴的交点坐标是（　）

令 y = 0：x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 或 x = −1。交点坐标为 (3, 0) 和 (−1, 0)。

答案：B。解 x² − 2x − 3 = 0 得 x = −1 或 x = 3，交点为 (−1, 0) 和 (3, 0)。

三、多选题（每题 3 分，共 15 分）

21. 下列函数中，y 随 x 的增大而增大的有（　）

A: k = 3 > 0，增大 ✓；B: k = −1 < 0，减小 ✗；C: 在第一象限，反比例函数 y 随 x 增大而减小 ✗；D: 在 x > 0 时，二次函数 y = x² 递增 ✓。

答案：AD。A 一次函数 k > 0 递增；D 在 x > 0 区间内 y = x² 递增。B 递减，C 在第一象限递减。

22. 关于二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0），下列说法正确的有（　）

A、B、C 是二次函数的基本性质。D 错误：只有当 b = 0 时对称轴才是 y 轴（x = 0），一般情况对称轴是 x = −b/(2a)。

答案：ABC。A、B、C 均正确。D 错误，对称轴为 x = −b/(2a)，只有当 b = 0 时才关于 y 轴对称。

23. 反比例函数 y = k/x 的性质中，正确的有（　）

A: 反比例函数图像是双曲线 ✓；B: k > 0 时在每个象限内递减 ✓；C: 反比例函数是奇函数，关于原点对称 ✓；D: x ≠ 0，y ≠ 0，不与坐标轴相交 ✗。

答案：ABC。A、B、C 正确。D 错误，反比例函数图像以坐标轴为渐近线，永不相交。

24. 下列点中，在一次函数 y = 2x − 1 图像上的有（　）

将各点坐标代入 y = 2x − 1 验证：A: 2×0−1=−1 ✓；B: 2×1−1=1 ✓；C: 2×2−1=3 ✓；D: 2×(−1)−1=−3 ✓。

答案：ABCD。四个点代入 y = 2x − 1 全部成立，都在该直线上。

25. 一次函数与二次函数的区别有（　）

A、B、D 正确。C 错误：一次函数 k ≠ 0 时既无最大值也无最小值（无限延伸）；二次函数开口向下时有最大值，开口向上时有最小值。

答案：ABD。A、B、D 正确。C 错误，一次函数（k ≠ 0）没有最大值也没有最小值，二次函数有最大值或最小值。

四、其他题型（每题 3 分，共 15 分）

26. 已知一次函数的图像经过点 (1, 4) 和 (−1, 0)，求这个一次函数的解析式。

先求斜率 k = (4 − 0)/(1 − (−1)) = 4/2 = 2。再代入一个点求 b：4 = 2×1 + b → b = 2。解析式为 y = 2x + 2。

答案：y = 2x + 2。k = (4 − 0)/(1 − (−1)) = 2，代入 (1, 4)：4 = 2×1 + b → b = 2。

27. 求二次函数 y = x² − 4x + 7 的顶点坐标和最小值。

配方法：y = x² − 4x + 4 + 3 = (x − 2)² + 3。顶点为 (2, 3)，a = 1 > 0 开口向上，最小值为 3。

答案：顶点 (2, 3)，最小值 3。y = (x − 2)² + 3，顶点 (2, 3)，a > 0，最小值为 3。

28. 已知反比例函数 y = k/x 的图像经过点 (2, 3)，求 k 的值，并判断点 (−1, −6) 是否在该函数图像上。

由点 (2, 3) 求 k：k = xy = 2×3 = 6。验证 (−1, −6)：xy = (−1)×(−6) = 6 = k，所以在图像上。

答案：k = 6，点 (−1, −6) 在该函数图像上。k = xy = 6，(−1)×(−6) = 6 = k，所以在图像上。

29. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 经过点 (0, 3)、(1, 0)、(2, −1)，求 a、b、c 的值。

代入三点列方程组：(0, 3): c = 3；(1, 0): a + b + 3 = 0 → a + b = −3；(2, −1): 4a + 2b + 3 = −1 → 4a + 2b = −4 → 2a + b = −2。解方程组得 a = 1, b = −4。

答案：a = 1, b = −4, c = 3。代入 (0, 3) 得 c = 3；代入 (1, 0) 得 a + b = −3；代入 (2, −1) 得 4a + 2b = −4 → 2a + b = −2。解得 a = 1, b = −4。解析式为 y = x² − 4x + 3。

30. 画出一次函数 y = −x + 2 的草图，并写出它与两坐标轴围成的三角形面积。

与 x 轴交点：令 y = 0，−x + 2 = 0 → x = 2；与 y 轴交点：令 x = 0，y = 2。三角形面积 = (1/2)×2×2 = 2。

答案：面积 = 2。与 x 轴交于 (2, 0)，与 y 轴交于 (0, 2)。三角形为直角三角形，面积 = (1/2)×2×2 = 2。